Teorema del resto: definición y ejemplos

Definición del teorema del resto

A todo el mundo le encanta encontrar un atajo, ya sea que se trate de direcciones de conducción o algún otro tipo de tarea larga. Descubrir una forma más rápida y eficiente de llegar al mismo punto final lo hace sentir bien, ya que lo más probable es que haya ahorrado tiempo, esfuerzo y / o dinero. Las matemáticas están llenas de este tipo de atajos y uno de los más útiles es el teorema del resto .

El teorema del resto establece que cuando un polinomio, f ( x ), se divide por un polinomio lineal , x – a , el resto de esa división será equivalente af ( a ). En otras palabras, si desea evaluar la función f ( x ) para un número dado, a , puede dividir esa función por x – a y su resto será igual af ( a ).

Cabe señalar que el teorema del resto solo funciona cuando una función se divide por un polinomio lineal, que tiene la forma x + número o x – número. ¿Cómo le ahorra tiempo el teorema del resto? Vamos a averiguar.

Función del teorema del resto

El teorema del resto es especialmente útil cuando se combina con la división sintética . Si recuerda, la división sintética es un método alternativo para dividir polinomios rápida y fácilmente en lugar de usar una división larga. Además, recuerde que en la división sintética, el número en la fila inferior en la última columna a la derecha es el resto. Por lo tanto, en lugar de introducir un valor y usar el orden de las operaciones, puede usar la división sintética como una forma de evaluar un polinomio para un valor dado.

Además, la división sintética y el teorema del resto se pueden usar para determinar si un valor es cero de una función. Con suerte, recuerdas que un cero de una función, por definición, es cualquier punto c , donde f ( c ) = 0. Por lo tanto, si encuentras un resto de cero después de realizar una división sintética, el número que aparece al principio, denominado a en la definición anterior, se evalúa como cero, o f ( a ) = 0.

Tenga en cuenta que puede usar la división larga en lugar de la división sintética, pero casi siempre es más rápido y más fácil usar la división sintética.

Cómo utilizar el teorema

Tomemos la función f (x) = x ^ 4 + 3x ^ 3 – 6x ^ 2 – 6x + 8 . Suponga que le dijeron que lo evaluara para x = 3. Podría dedicar tiempo a introducir un 3 por cada x (los cuatro) enumerados anteriormente. Entonces podría realizar el orden de las operaciones (¿alguien PEMDAS?) Para evaluar los cinco términos. Finalmente, combinaría todos los términos semejantes para obtener la respuesta final para f (3).

Pero es mucho más rápido y fácil usar el teorema del resto. Simplemente configure la división sintética donde dividirá x ^ 4 + 3 x ^ 3-6 x ^ 2-6 x + 8 por x – 3, y tendrá la respuesta en poco tiempo. Recuerde que dividirá entre x – 3 (no x + 3) porque a = 3 en este ejemplo y el teorema del resto se basa en dividir entre x – a (no x + a ). Debe obtener 98 como resto, lo que significa que f (3) = 98 . El trabajo se muestra a continuación.

Ahora, evaluemos la misma función para x = -4. Puede usar el mismo proceso de dividir x ^ 4 + 3 x ^ 3-6 x ^ 2-6 x + 8 por x + 4. Tenga en cuenta que en este ejemplo, dado que a = -4, x – a será x – (-4), ox + 4.

Después de realizar la división sintética, debería notar varias cosas. La primera es que el resto es 0; por lo tanto, el teorema del resto te dice que f (-4) = 0. Sin embargo, dado que el resto es 0 (y no cualquier otro número), hay algo más que deberías haber descubierto. También determinó que -4 es cero de f ( x ) ya que, como se mencionó anteriormente, f (-4) = 0. El trabajo completo se muestra a continuación.

El teorema del resto no solo puede ahorrarle tiempo cuando se le pide que evalúe una función, sino que también puede ayudarlo a encontrar los ceros de una función.

Algunos problemas de ejemplo

Echemos un vistazo a un par de ejemplos que utilizan el teorema del resto para resolver.

Ejemplo 1: Para la función f ( x ) = -2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 +4 x – 1, encuentre f (-3) yf (5)

Para encontrar f (-3), divide -2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 +4 x – 1 entre x + 3 usando la división sintética. El resto será 68; por tanto, f (-3) = 68 El trabajo completo se muestra a continuación.

Para encontrar f (5), divide -2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 +4 x – 1 entre x – 5 usando la división sintética. El resto será -156; por tanto, f (5) = -156. El trabajo completo se muestra a continuación.

Ejemplo 2: Para la función f ( x ) = 3 x ^ 4 + 2 x ^ 2 – 6 x – 3, encuentre f (-1). ¿Es un cero de la función?

Para encontrar f (-1), divide 3 x ^ 4 + 2 x ^ 2-6 x – 3 entre x + 1 usando la división sintética. Recuerde que al configurar la división sintética, debe incluir una columna para 0 x ^ 3 aunque no haya ningún término x ^ 3 listado en el problema. El resto serán 8; por lo tanto, f (-1) = 8. No, -1 no es cero de f ( x ) porque el resto no es 0. El trabajo completo se muestra a continuación.

Ejemplo 3: Para la función f ( x ) = x ^ 3 + 7 x ^ 2 + 7 x – 15, determine cuáles de los siguientes son ceros: x = -3, 3, -5

Para ver si cada valor es un cero, puede dividir f ( x ) por x + 3 (para verificar x = -3), x – 3 (para verificar x = 3) y x + 5 (para verificar x = – 5). Los residuos serán 0, 96 y 0. Por tanto, x = -3 y x = -5 son ceros, mientras que x = 3 no lo es. El trabajo completo se muestra a continuación.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido. El teorema del resto es un atajo muy útil que le permite determinar rápida y fácilmente varias cosas sobre las funciones.

Primero, le permite evaluar una función para un número dado usando división sintética, ya que establece que el resto de esa división será igual al valor que encuentre al evaluar la función en ese número. Además, recuerde que la división sintética es un método alternativo para dividir polinomios rápida y fácilmente en lugar de utilizar una división larga. Este es un atajo, ya que a menudo es mucho más rápido hacer una división sintética que introducir el número y usar el orden de las operaciones.

En segundo lugar, también le permite determinar fácilmente si un número es un cero de una función, ya que cualquier número que devuelva un valor de 0 cuando se evalúa en una función es un cero. Puede usar el teorema del resto para resolver este tipo de problemas y también otros tipos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador