Uso del teorema fundamental del cálculo para mostrar antiderivadas

Cálculo diferencial e integral

Hasta ahora, en sus estudios de cálculo, ha tratado el tema como si tuviera dos ramas separadas, cálculo diferencial y cálculo integral. En cálculo diferencial , aprendiste a tomar derivadas y antiderivadas de funciones polinomiales, exponenciales, trigonométricas y logarítmicas. En cálculo integral , ha comenzado a trabajar en integrales definidas como límites de las sumas de Riemann.

Si bien no es una lista completa, estos son algunos ejemplos de antiderivadas comunes que ya debería conocer.

Si bien hemos tratado el cálculo diferencial e integral por separado hasta ahora, resulta que los dos están intrínsecamente vinculados a través de algo llamado teorema fundamental del cálculo . Este teorema nos muestra que la diferenciación y la integración son procesos inversos, dos caras separadas de la misma moneda. En esta lección, nos centraremos en cómo se puede usar el teorema fundamental del cálculo para mostrar antiderivadas.

El teorema fundamental del cálculo, parte 2

El teorema fundamental del cálculo se puede dividir en dos partes principales. Para ver cómo se relaciona este teorema con las antiderivadas, vamos a concentrar nuestro tiempo en trabajar con la segunda parte del teorema.

Hasta este punto, cuando quisiera evaluar una integral definida, tendría que tomar el límite de una suma de Riemann. Evaluar integrales de esta manera puede ser largo y tedioso, pero la parte 2 del teorema fundamental del cálculo nos dice que podemos evaluar cualquier integral definida de una función continua desde a hasta b tomando la antiderivada de esa función en los límites superior e inferior. de la integral. De esta forma podemos usar el teorema fundamental del cálculo para representar integrales definidas como antiderivadas.

Ejemplo de antiderivada

Para ver cuán útil es la segunda parte del teorema fundamental del cálculo, intentemos trabajar juntos en el siguiente ejemplo. Encontrar el área bajo la curva dada por f (x) = x 2 /2 + x en el intervalo de 1 a 2.

Este gráfico muestra el área bajo la curva creada por nuestra función f (x) en el intervalo 1 a 2.

Mirando nuestro gráfico podemos ver que la función aquí es continua , es decir, no hay rupturas en la curva. Entonces podemos encontrar el área resolviendo la siguiente integral definida.

Dado que conocemos el teorema fundamental del cálculo, ya no necesitamos usar sumas de Riemann para resolver este límite. Podemos empezar tomando la antiderivada de f (x)

x 2 /2 + x = x 3 /6 + x 2 /2 + C

Ahora, todo lo que tenemos que hacer para encontrar el área bajo la curva es tomar la diferencia de antiderivada evaluada en los límites superior e inferior de la integral, es decir, F (b) – F (a) .

F (2) – F (1) = (2 3 /6 + 2 2 /2 + C ) – (1 3 /6 + 1 2 /2 + C )

= 8/6 + 4/2 + C – 1/6 – 1/2 – C

= 8/6 – 1/6 + 4/2 – 1/2 + C – C

= 7/6 + 3/2

= 8/3

Observe que las dos constantes arbitrarias ( C ) de las antiderivadas se cancelan. Debe saber que esto siempre sucederá al resolver una integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo, sin importar la antiderivada que encuentre. Como nota final, ahora que hemos vinculado la integración y la antidiferenciación, podemos darle a la constante C su nombre propio. Se la conoce como la constante de integración .

Resumen de la lección

Hasta ahora ha tratado el cálculo como si tuviera dos ramas diferentes. La rama de cálculo diferencial cubría derivadas y antiderivadas, y la rama de cálculo integral cubría integrales. Resulta que a través del teorema fundamental del cálculo, estas dos ramas se unen como un solo tema al mostrar que la diferenciación y la integración son en realidad procesos inversos entre sí.

A través de la segunda parte del teorema fundamental del cálculo podemos vincular el tema del cálculo diferencial de las antiderivadas con el tema del cálculo integral de integrales definidas.

Este teorema nos dice que una integral definida de una función que es continua , lo que significa que no hay rupturas en ella, en el intervalo a a b es igual a la diferencia de la antiderivada de esa función evaluada en los límites superior e inferior del intervalo. Esto nos permite representar integrales definidas como antiderivadas.

Finalmente, aprendimos que al resolver antiderivadas usando este proceso, las constantes de integración ( C ) de las dos antiderivadas siempre se cancelarán entre sí.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador