Pasos para resolver 1-cos (x)
Para graficar 1 – cos ( x ), necesitamos estar familiarizados con dos cosas. La primera es que necesitamos saber cómo se ve la gráfica de y = cos ( x ).
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Vemos que la gráfica de y = cos ( x ) parece una serie de colinas y valles, con valores máximos de 1 y valores mínimos de -1. También hay algunos puntos clave etiquetados.
Bien, eso es una cosa menos. Lo siguiente con lo que debemos estar familiarizados son las transformaciones de funciones. En matemáticas, las transformaciones de funciones son manipulaciones algebraicas de una función que corresponden a transformaciones de la gráfica de la función. Observe que para ir de cos ( x ) a 1 – cos ( x ), multiplicamos la función por un negativo para obtener -cos ( x ), luego sumamos 1 para obtener 1 – cos ( x ). Cada una de estas manipulaciones corresponde a una transformación de la gráfica de cos ( x ).
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Hay cuatro tipos diferentes de transformaciones de funciones, pero esperaremos para hablar un poco más sobre esto hasta que grafiquemos 1 – cos ( x ). Por ahora, solo nos interesan dos de las transformaciones: reflejos y desplazamientos verticales.
Un reflejo es una transformación que refleja una función sobre la x o y eje. Este tipo de transformación se representa mediante la multiplicación por un negativo. Cuando multiplicamos toda la función por un negativo, reflejamos la gráfica de esa función sobre el eje x . Cuando solo multiplicamos la variable x por un negativo, reflejamos la función sobre el eje y . Recuerde que para ir de cos ( x ) a 1 – cos ( x ), dijimos que primero multiplicamos cos ( x ) por un negativo. Estamos multiplicando toda la función por un negativo, por lo que esto corresponde a reflejar la gráfica de cos ( x ) sobre eleje x .
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Ahora tenemos la gráfica de -cos ( x ). Lo siguiente que hacemos con 1 – cos ( x ) es sumar 1. Esto corresponde a un desplazamiento vertical. Un desplazamiento vertical es una transformación que desplaza la gráfica de una función hacia arriba o hacia abajo. Algebraicamente, si sumamos c a una función, desplazamos la gráfica de esa función hacia arriba c unidades. De manera similar, si restamos c de una función, desplazamos la gráfica de esa función hacia abajo c unidades. Como estamos sumando 1 a -cos ( x ), desplazaremos la gráfica hacia arriba 1 unidad.
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¡Bien! Todos juntos, tenemos que al Gráfico 1 – cos ( x ), que comenzar con la gráfica de cos ( x ), reflejarla sobre el y eje x, y cambiar ese gráfico 1 unidad hacia arriba.
Solución
Entonces, ahora que está resuelto, eche un vistazo a la gráfica de 1 – cos ( x ), que se muestra ahora en su pantalla.
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Otras transformaciones de funciones
Como acabamos de ver, las transformaciones de funciones resultan extremadamente útiles cuando se intenta graficar variaciones de una función conocida. Solo vimos reflejos y cambios verticales en acción. Echemos un vistazo a los otros dos tipos de transformaciones de funciones. Esos son cambios horizontales y estiramiento / encogimiento.
Un desplazamiento horizontal es una transformación que desplaza la gráfica de una función hacia la derecha o hacia la izquierda. Estos tipos de transformaciones corresponden a sumar o restar un número ao de x en una función. Si sumamos c a x en una función, entonces desplazamos la gráfica de la función c unidades hacia la izquierda , y si restamos c de x en una función, entonces desplazamos la gráfica de la función c unidades hacia la derecha . Eso puede sonar al revés para usted, pero así es como funcionan los cambios horizontales. Solo recuerde, cuando se trata de cambios horizontales, piense en ‘opuestos’ (derecha = resta, izquierda = suma).
¡Son muchas palabras! Siempre es mejor poner las cosas en práctica, así que para ilustrar esto, considere la función y = cos ( x + 5). Como estamos sumando 5 ax en la función cos ( x ), desplazamos la gráfica de cos ( x ) cinco unidades hacia la izquierda para obtener la gráfica de cos ( x + 5).
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Estirar y encoger son transformaciones que estiran o encogen (comprimen) una función. Algebraicamente, esta transformación corresponde a multiplicar una función o la variable x de una función por un número. Si multiplicamos una función completa por c o 1 / c , estiramos o encogemos la función verticalmente, y si multiplicamos solo la variable x en una función por c o 1 / c , estiramos o encogemos la función horizontalmente.
Cuando se trata de estiramiento y contracción vertical, si multiplicamos por c , entonces estamos estirando la función verticalmente por un factor de c . Si multiplicamos por 1 / c , entonces estamos reduciendo la función verticalmente por un factor de c .
Por otro lado, cuando se trata de estiramiento y contracción horizontal, si multiplicamos x por c , entonces estamos contrayendo la función horizontalmente por un factor de c . Si multiplicamos x por 1 / c , entonces estamos estirando la función horizontalmente por un factor de c .
¡Vaya, son muchas palabras de nuevo! Veamos un ejemplo nuevamente para comprender mejor este concepto. Considere la función 2cos ( x ). Dado que multiplicamos la función completa de cos ( x ) por 2, estamos estirando la función cos ( x ) por un factor de 2.
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Como vimos con nuestro problema inicial de graficar 1 – cos ( x ), podemos tener más de una transformación sucediendo a la vez. Considere la función y = (1/3) cos (- x – 2) – 4. A primera vista, esto parece muy complicado de graficar, pero en realidad es solo una cuestión de tomar la gráfica de y = cos ( x ), desplazando está 2 unidades a la derecha, encogiéndose verticalmente por un factor de 3, reflejándose sobre el eje y , y desplazándose hacia abajo 4 unidades.
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Bastante ordenado, ¿eh?
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. En esta lección, analizamos la función 1- cos (x), que es un ejemplo de transformaciones de funciones o manipulaciones algebraicas de una función que corresponden a transformaciones de la gráfica de la función. Nos fijamos en cuatro tipos de transformaciones, que incluían reflexiones , que son las transformaciones que reflejan una función sobre la x o y eje; desplazamientos verticales , que son transformaciones que desplazan la gráfica de una función hacia arriba o hacia abajo; desplazamientos horizontales , que son transformaciones que desplazan la gráfica de una función hacia la derecha o hacia la izquierda; y estirar y encoger, que son transformaciones que estiran o comprimen una función.
Es fácil ver que las transformaciones de funciones son extremadamente útiles cuando se intenta graficar funciones complejas. ¡Estas transformaciones pueden tomar un problema aparentemente difícil y transformarlo en un problema que es bastante fácil!
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