Funciones recíprocas: definición, ejemplos y gráficos

¿Qué es una función recíproca?

¿Sabías que el movimiento de balanceo del péndulo se puede modelar usando propiedades y ecuaciones matemáticas? Por ejemplo, la frecuencia (en hercios), que es el número de oscilaciones completas por segundo de una oscilación del péndulo, es igual al recíproco del período (en segundos), que es el tiempo que tarda el péndulo en hacer un swing completo hacia adelante y hacia atrás.

Recuerde que el recíproco de un número x es 1 / x , por lo tanto, podemos encontrar la frecuencia del movimiento de oscilación de un péndulo al encontrar el recíproco del período. Por ejemplo, considere un péndulo con un período de 2 segundos. Para encontrar la frecuencia de este péndulo, encontramos el recíproco de 2, que es 1/2.

Bastante ordenado, ¿eh? Demos un paso más. En general, si dejamos que la frecuencia de un péndulo sea f y el período de un péndulo sea p , tenemos que f = 1 / p . En matemáticas, llamamos a esto una función recíproca . De la misma manera que el recíproco de un número x es 1 / x , la función recíproca de una función f ( x ) es 1 / f ( x ).

Por ejemplo, considere la función f ( x ) = 2 x – 1. La función recíproca de f sería la siguiente:

1 / f ( x ) = 1 / (2 x – 1)

¡Hasta ahora tan bueno! En general, una función recíproca tiene la forma:

r ( x ) = a / ( x – h ) + k

Estar familiarizado con una función recíproca en esta forma nos permite identificar mejor varias características de la función. Consideremos algunas de esas características.

Características de la función recíproca

Para observar las características de las funciones recíprocas, consideremos la función recíproca más básica, que es f ( x ) = 1 / x . Observa la gráfica de esta función.

Observe que nuestro gráfico tiene dos partes principales. Las llamamos ramas de la función. También observe que la gráfica de la función se acerca a las líneas x = 0 e y = 0, pero en realidad nunca las toca. A estas líneas las llamamos asíntotas , que son las líneas horizontales y verticales a las que se acerca la gráfica pero que no toca. Las asíntotas provienen del hecho de que una función recíproca 1 / f ( x ) debe restringir su dominio para que el denominador no sea igual a 0.

Si se nos da una función recíproca en la forma 1 / f ( x ), entonces podemos encontrar las asíntotas verticales estableciendo f ( x ) = 0 y despejando x . Sin embargo, cuando se le da una función recíproca en su forma general, es mucho más fácil. Para la función recíproca en forma general r ( x ) = a / ( x – h ) + k , tenemos las siguientes reglas:

1. La asíntota vertical de r ( x ) es x = h .
2. La asíntota horizontal de r ( x ) es y = k .

Bueno, ¡eso es bastante simple! ¡Es solo una cuestión de identificar números dentro de la función! Lo único a tener en cuenta es que el denominador en la forma general es x – h , por lo que al identificar la asíntota vertical, x = h , debemos tener en cuenta ese negativo.

Podemos usar estas asíntotas, algunos puntos graficados y la forma general de la gráfica para trazar una gráfica de una función recíproca. Por lo tanto, ser capaz de identificar las asíntotas fácilmente es definitivamente útil.

Graficar funciones recíprocas

Para graficar funciones recíprocas, usamos los siguientes pasos:

1. Identifica y representa gráficamente las asíntotas verticales y horizontales.
2. Encuentre varios puntos que satisfagan la función – cuantos más, mejor – y grafique estos puntos.
3. Cree las ramas de la función conectando los puntos trazados apropiadamente para tomar la forma de un gráfico de función recíproca.

Intentemos esto. Supongamos que queremos graficar la siguiente función recíproca:

g ( x ) = 1 / ( x – 2) + 4

Nuestro primer paso sería identificar y representar gráficamente las asíntotas. Afortunadamente, esta función se proporciona en forma general, por lo que podemos usar nuestras reglas. Usando nuestras reglas, tenemos que hay una asíntota vertical en x = 2 y una asíntota horizontal en y = 4, así que graficamos estas asíntotas.

A continuación, encontramos varios puntos que satisfacen la función y los graficamos, que puedes ver en la tabla y en el gráfico.

¡Hasta ahora tan bueno! Solo queda una cosa por hacer, y es conectar los puntos en consecuencia según la forma general del gráfico de la función recíproca y las asíntotas.

¡Lo hicimos! Tomó un poco de trabajo, pero en su mayor parte, cada paso fue bastante simple.

Resumen de la lección

La función recíproca de una función f ( x ) es 1 / f ( x ). La forma general de una función recíproca es r ( x ) = a / ( x – h ) + k . Los gráficos de funciones recíprocas se componen de ramas , que son las dos partes principales del gráfico; y asíntotas , que son líneas horizontales y verticales a las que el gráfico se acerca pero no toca. Para encontrar las asíntotas de una función recíproca en forma general r ( x ) = a / ( x– h ) + k , usamos estas reglas:

1. La asíntota vertical de r ( x ) es x = h .
2. La asíntota horizontal de r ( x ) es y = k .

Para graficar funciones recíprocas, usamos estos pasos:

1. Identifica y representa gráficamente las asíntotas verticales y horizontales.
2. Encuentre varios puntos que satisfagan la función; cuanto más, mejor. Trace estos puntos.
3. Cree las ramas de la función conectando los puntos trazados apropiadamente para tomar la forma de un gráfico de función recíproca.

Las funciones recíprocas demuestran ser útiles para modelar varios fenómenos que nos rodean, por lo que es extremadamente útil estar familiarizado con este tipo de funciones y sus gráficos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador