Volumen y área de superficie de un cono truncado

Definición de cono truncado

¿Cuál fue la última película realmente genial que fuiste a ver en un cine? ¡Ir al cine siempre es un gran momento! Por supuesto, la experiencia de ir al cine al cine no está completa sin las palomitas de maíz. Lo más probable es que nunca hayas notado la forma de una tina de palomitas de maíz en el teatro, ¡pero aquí tienes un dato interesante! Hay un nombre matemático para esta forma y se llama cono truncado .

Un cono truncado es un objeto tridimensional que parece un cono con el extremo superior puntiagudo cortado.

Los dos extremos circulares de un cono truncado se llaman bases . Llamaremos radio pequeño radio al radio de la base circular más pequeña y lo representaremos con r , y llamaremos radio grande al radio de la base circular más grande y lo representaremos con R. La distancia entre los centros de las dos bases se llama la altura del cono truncado, y lo representamos con h. Por último, la distancia más corta entre los bordes exteriores de las bases se llama altura inclinada y la representamos con s.

¿Ves ahora que un bote de palomitas de maíz tiene esta forma? Bastante interesante, ¿eh? Bueno, ¡está a punto de volverse aún más interesante! ¡Hablemos un poco sobre el volumen y la superficie de un cono truncado!

Volumen de cono truncado

Supongamos que vas al cine y te dan palomitas de maíz grandes. No puede esperar para hundir sus dientes en la bondad salada y mantecosa, pero antes de hacerlo, comienza a preguntarse cuántas palomitas de maíz caben dentro de la gran tina de palomitas de maíz. ¡Tengo noticias para ti! ¡Te estás preguntando cuál es el volumen de la tina de palomitas de maíz!

El volumen de un cono truncado es la cantidad de espacio dentro del cono truncado. La buena noticia es que tenemos una buena fórmula que podemos usar para encontrar el volumen de un cono truncado.

Volumen = (1/3) ⋅ π ⋅ h ( R 2 + r 2 + R ⋅ r )

Su curiosidad se apodera de usted, por lo que le pide al trabajador en el mostrador de concesiones que vea una gran cubeta de palomitas de maíz vacía. Cuando te lo da, tomas algunas medidas rápidas y encuentras que el radio grande es de 5 pulgadas, el radio pequeño es de 4 pulgadas, la altura es de 10 pulgadas y la altura inclinada es de 11 pulgadas. Devuelve la tina vacía al trabajador de concesiones y saca un lápiz y un poco de papel para calcular el volumen de la tina grande de palomitas de maíz usando su fórmula.

Entonces, vemos que el volumen de la tina de palomitas de maíz grande es de aproximadamente 638.79 pulgadas cúbicas. ¡Guauu! ¡Son muchas palomitas de maíz! ¡Cavar en!

Área de superficie de cono truncado

A medida que comienza a engullir sus palomitas de maíz, comienza a sentir un poco de remordimiento por parte del comprador. Después de todo, pagó $ 8 por estas palomitas de maíz grandes, ¡y eso no es barato! Esto te lleva a preguntarte cuánto tiene que pagar la sala de cine por una tina de palomitas de maíz. Tiene un poco más de tiempo hasta que comience la película, por lo que le pregunta a un trabajador cuánto le cuestan estas tinas. El trabajador dice que el fabricante cobra según la cantidad de material que se usó para hacer la tina y una tapa para la tina, y cobran 0.00125 centavos por pulgada cuadrada de material usado.

Hmmm, para responder a su pregunta, necesitaría alguna forma de encontrar la cantidad total de material utilizado para hacer una tina grande y una tapa. ¿Adivina qué? De hecho, estás pensando matemáticamente de nuevo, porque esta cantidad total de área que ocupa la superficie de un cono truncado se llama área de superficie del cono truncado, ¡y esto es exactamente lo que estás buscando! Afortunadamente, una vez más, tenemos una buena fórmula que podemos usar para calcular esta superficie.

Área de superficie = π ( s ( R + r ) + R 2 + r 2 )

¡Excelente! Puede encontrar el área de superficie de la bañera grande con tapa y luego multiplicarla por 0,00125 centavos para averiguar cuánto paga realmente el teatro por estas bañeras. Primero, encontremos el área de la superficie. Ya tienes las medidas, ya que las tomaste al encontrar el volumen, así que simplemente conectamos s = 11, R = 5 yr = 4 a la fórmula y luego simplificamos.

Entonces ahora podemos ver que el área de la superficie de la tina grande es de aproximadamente 439.82 pulgadas cuadradas. Bien, multipliquemos esto por la cantidad que cobra el fabricante por pulgada cuadrada de material.

439,82 ⋅ 0,00125 = 0,549775

Vemos que el cine paga aproximadamente $ 0.55 por bote de palomitas de maíz. ¡Guau! ¡Pagaste $ 8! Habla de un marcado importante. Pero, cuando se mete otro puñado de palomitas de maíz en la boca, cree que probablemente valió la pena.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a revisar lo que hemos aprendido sobre los conos truncados y medirlos. Un cono truncado es un objeto tridimensional que tiene la forma de un cono con el extremo puntiagudo superior cortado. El volumen de un cono truncado es la cantidad de espacio dentro del cono truncado. El área de la superficie de un cono truncado es la cantidad total de área que ocupa toda la superficie del cono truncado.

Podemos calcular el volumen y la superficie de un cono truncado usando las siguientes fórmulas.

Volumen = (1/3) ⋅ π ⋅ h ( R 2 + r 2 + R ⋅ r )

Área de superficie = π ( s ( R + r ) + R 2 + r 2 )

¡Es posible que nunca vuelva a ver un bote de palomitas de maíz de la misma manera! Hablando de eso, has estado tan cautivado y divertido con todas estas matemáticas que te estás perdiendo las vistas previas de tu película. ¡Mejor entra ahí! ¡Disfruta el espectáculo!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador