Decoración de dos habitaciones poligonales similares
Suponga que está decorando dos habitaciones que tienen la misma forma, excepto que una es un poco más grande que la otra. Va a agregar un borde a lo largo de los techos y alfombrar ambas habitaciones. Dado que las dimensiones de la habitación más grande son un 20% más grandes que las de la habitación más pequeña, asume que necesitará un 20% más de borde y alfombra para la habitación más grande. ¿Es esta una suposición precisa? Bueno, aprendamos a encontrar el perímetro y el área de polígonos similares para que podamos averiguarlo.
Vocabulario
Un polígono es una forma bidimensional que está cerrada, lo que significa que los lados encierran completamente un área y tiene segmentos de línea para los lados. Los triángulos, rectángulos y trapezoides son todos polígonos. Un círculo no es un polígono porque no tiene segmentos de línea para los lados.
Los polígonos similares son polígonos que tienen ángulos correspondientes (un par de ángulos de cada polígono en la misma posición), que son congruentes (tienen la misma medida) y los lados correspondientes son proporcionales. Proporcional significa que tienen una razón común. Esta relación común también se denomina factor de escala . En resumen, los polígonos son similares cuando tienen exactamente la misma forma y sus ángulos interiores son los mismos y sus lados son proporcionales.
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El perímetro es la medida unidimensional de la distancia alrededor de una forma. Puedes encontrar el perímetro de cualquier polígono sumando la longitud de todos los lados.
El área es la medida bidimensional de la cantidad de espacio dentro de una forma. Siempre se mide en unidades cuadradas. Encontrar el área de un polígono generalmente implica multiplicar el largo y el ancho juntos de alguna manera.
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Perímetro de polígonos similares
Cuando dos polígonos son similares, los lados tienen una razón común. Si multiplica la longitud de un lado del polígono por el factor de escala (llamémoslo r ), obtendrá la longitud del lado correspondiente del otro polígono. Este proceso se aplica a todos los lados del polígono.
Digamos que tenemos un triángulo con lados de 3, 4 y 7 unidades y un perímetro de 14 unidades. Tenemos otro triángulo que es similar y tiene un factor de escala de r al primer triángulo. Los lados correspondientes del segundo triángulo son unidades 3r, 4r y 7r con un perímetro de 14r unidades. Note que la única diferencia entre el perímetro del primer triángulo y el perímetro del segundo triángulo es la multiplicación por r .
Ejemplo 1
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Los triángulos ABC y DEF son triángulos similares. ¿Cuál es el perímetro del triángulo DEF? Para determinar esto, necesitamos encontrar el factor de escala entre los lados de los triángulos. Como tenemos las medidas de dos lados correspondientes, podemos hacerlo fácilmente. DE y AB son lados correspondientes. La longitud de DE es 12 y la longitud de AB es 4, por lo que su razón y factor de escala es 12/4 o 3. Dado que cada lado del triángulo DEF es 3 veces cada lado del triángulo ABC, el perímetro del triángulo DEF es 3 veces mayor que el perímetro del triángulo ABC.
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Dado que se nos dan las medidas de cada lado del triángulo ABC, podemos encontrar que el perímetro del triángulo ABC es 11 (4 + 4 + 3 = 11). Ahora podemos multiplicar ese perímetro por el factor de escala de 3 para determinar el perímetro del triángulo DEF (11 x 3 = 33).
Área de polígonos similares
El uso del factor de escala es diferente entre perímetro y área porque el perímetro es unidimensional y el área es bidimensional. Digamos que tenemos dos rectángulos similares con un factor de escala de r . El primer rectángulo tiene dimensiones de 5 por 6 unidades, con un área de 30 unidades cuadradas. La dimensión del segundo rectángulo sería de 5r por 6r unidades con un área de (30) x (r) x (r) o 30r 2 unidades cuadradas. Observe cómo el factor de escala ( r ) se eleva al cuadrado para encontrar el área del rectángulo similar.
Ejemplo 2
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Los rectángulos ABCD y EFGH son rectángulos similares. ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD?
¿Qué es un área protegida?
El área del rectángulo EFGH es 6 x 10 = 60 unidades cuadradas. El factor de escala entre los dos rectángulos se puede encontrar observando la longitud de los lados correspondientes BD (3) dividida por FH (6) que se simplifica a 1/2. Para encontrar el área de ABCD, multiplique el área de EFGH (60) por el factor de escala al cuadrado. (60) x (1/2) x (1/2) = 15. El área del rectángulo ABCD es de 15 unidades cuadradas.
Decorando dos habitaciones revisitadas
Para probar si la suposición original era correcta, necesitamos determinar el factor de escala en ambos casos.
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Si divide el perímetro de la habitación más grande por el perímetro de la habitación más pequeña (52,8 / 44) obtiene 1,2. Eso significa que el perímetro de la habitación más grande es un 20% más grande. (El perímetro de la habitación más grande es 120% del de la habitación más pequeña). Sin embargo, si divide el área de la habitación más grande por el área de la habitación más pequeña (172,8 / 120), obtiene 1,44. (El área de la habitación más grande es el 144% del área de la habitación más pequeña). Eso significa que el área de la habitación más grande es un 44% más grande que la de la habitación más pequeña. Entonces, la suposición original de que multiplica el perímetro y el área por el mismo número no es correcta.
Resumen de la lección
Si conoces el factor de escala de dos polígonos similares , calcula el perímetro del segundo polígono multiplicando el perímetro del primer polígono por el factor de escala. El área del segundo polígono se calcula multiplicando el área del primer polígono por el factor de escala al cuadrado. Si conoces dos lados correspondientes de polígonos similares, puedes encontrar el factor de escala dividiendo un lado correspondiente por el otro. De manera similar, si conoces el perímetro de dos polígonos similares, puedes encontrar el factor de escala dividiendo el perímetro de un polígono por el perímetro del otro.
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