Encontrar las propiedades de objetos tridimensionales en el SAT

Formas tridimensionales

A diferencia de la geometría 2-D, la geometría tridimensional o la geometría 3-D , se trata de objetos que tienen tres dimensiones medibles: largo, ancho y alto. Puedes ver esto si comparas una forma 2-D, como un cuadrado, con su equivalente 3-D, un cubo. El cuadrado solo tiene largo y ancho, pero el cubo tiene largo, ancho y alto. El truco más grande para dominar la geometría 3-D en el SAT es darse cuenta de que la mayor parte no se trata en absoluto de formas 3-D. En cambio, se trata de colecciones de formas bidimensionales que se organizan en algo que reconocemos como un cubo o una esfera.

Podrías ver esta forma a continuación como un cubo, pero también podrías verla como seis cuadrados pegados, y eso es mucho más fácil de trabajar.

Pensar en este cubo como seis cuadrados pegados hace que sea más fácil trabajar con él.

Cuando trabaje con formas tridimensionales, esta capacidad de dividirlas en sus componentes 2-D le dará un gran impulso en la prueba. En esta lección, cubriremos una de las formas de descomposición 2-D más importantes: triángulos ocultos. Luego, veremos un ejemplo básico y un segundo ejemplo con un cilindro para mostrar cómo los triángulos pueden ayudar incluso con formas redondeadas si sabe cómo usarlos.

Triángulos ocultos

Los triángulos ocultos son uno de los mayores trucos tridimensionales del SAT. Por lo general, estos son triángulos rectángulos, pero a veces también pueden ser otros tipos de triángulos. Solo para mostrarte cómo funciona esto, echa un vistazo a algunos de los triángulos que acechan dentro de un solo cubo. Aquí hay uno que puede usar para encontrar la distancia entre los puntos A y B, o la diagonal, de un lado del cubo.

Aquí hay otro que puede usar para encontrar la distancia entre los puntos C y D, trazando una línea justo a través del centro del cubo.

Si este cubo estuviera dentro de una esfera, de modo que cada esquina del cubo tocara el interior de la esfera, entonces la longitud del segmento CD también sería el diámetro de la esfera. ¿Qué tal eso para la multitarea?

Problema de ejemplo

Para mostrarle cómo podría poner en práctica esta teoría, veamos un ejemplo de problema SAT. En el cubo que se muestra, el punto B está en el centro de la cara inferior del cubo. ¿Cuál es la longitud del segmento de línea AB (no se muestra)? Es un hueso duro de roer, pero podemos hacerlo funcionar con triángulos. Así es cómo.

Primero, piense en el segmento de línea AB como el lado más largo de un triángulo rectángulo, como se muestra a continuación. Ya tenemos un lado del triángulo, que es 6. Pero necesitamos el otro lado, la distancia desde la esquina del cuadrado al punto B.

Para encontrar eso, usaremos otro triángulo. Como todos los lados de un cubo son iguales, podemos encontrar los catetos de este triángulo y luego resolver la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras.

6 ^ 2 + 6 ^ 2 = x ^ 2, entonces x ^ 2 = 72. Eso hace que x sea igual a 6 (sqrt2). B está justo en el medio de la cara inferior, así que cortaremos esto a la mitad para encontrar la distancia desde la esquina hasta B: es 3 (sqrt2). ¿Ahora ves lo que tenemos? Un triángulo rectángulo con dos lados conocidos.

Podemos resolver el tercero para obtener la distancia de A a B: (3 * sqrt2) ^ 2 + 6 ^ 2 = x ^ 2. Entonces sabemos que x ^ 2 = 54. Podemos simplificar la raíz cuadrada de 54 a 3 (sqrt6). Y ahora tenemos nuestra respuesta. Perfectamente posible. Solo se necesita un uso inteligente de triángulos para que esto suceda.

Cilindros

Además de ocultar triángulos en cubos y esferas, el SAT también le hará preguntas sobre cilindros , pero aquí, nuevamente, puede resolver el problema dividiendo el cilindro en formas bidimensionales. Si piensa en un cilindro, en realidad es un rectángulo enrollado en un círculo con tapas en ambos extremos. Si esto no tiene ningún sentido, piense en una lata ordinaria. La parte superior e inferior son círculos, y si quitas la etiqueta con cuidado, terminarás con una hoja de papel rectangular. Entonces, un cilindro es en realidad solo dos círculos más un rectángulo. Después de todo, no da tanto miedo.

Para ilustrar esto, veamos un problema de ejemplo. Se debe colocar un lápiz dentro de una lata de 12 pulgadas de alto con un volumen de 300 pi pulgadas en cubos. ¿Cuál es la longitud del lápiz más largo que cabe completamente dentro de la lata?

Empezaremos haciendo un dibujo. Esto es de lo que estamos hablando. Puede ver el cilindro formado por dos círculos y un rectángulo y cómo encaja el lápiz en la lata para maximizar la longitud posible del lápiz. Puede colocar mucho más lápiz en esta lata inclinándolo hacia los lados que inclinándolo hacia arriba y hacia abajo.

Ahora completaremos las dimensiones que tenemos. La altura es de 12 pulgadas y el volumen es de 300 pi pulgadas al cubo. Al igual que un cubo o un prisma rectangular, el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura. La única diferencia es que aquí, el área de la base es un círculo y no un cuadrado. De lo contrario, la fórmula es la misma.

Así que conectaremos esto: 300 pi = (área de la base) (12). Dividimos ambos lados y obtenemos 25 pi = área de la base. Sabemos que el área de un círculo es igual a pi multiplicado por el radio al cuadrado, por lo que podemos resolver para obtener un radio de 5. ¿Puedes adivinar qué sucede después?

Así es: ¡son triángulos ocultos de nuevo! Hay un triángulo rectángulo agradable y amistoso escondido en este cilindro una vez que averiguamos el diámetro de la base. Solo recuerde usar el diámetro en lugar del radio, ya que el lado inferior de nuestro triángulo se extiende a lo largo de la base.

Sabemos que un lado de este triángulo es igual a 10, un lado es 12 y el tercer lado es la longitud del lápiz, así que usaremos el teorema de Pitágoras para resolverlo: 10 ^ 2 + 12 ^ 2 debe ser igual x ^ 2, entonces x es la raíz cuadrada de 244, que podemos simplificar como 2 (sqrt61). ¡Triángulos al rescate una vez más!

Resumen de la lección

La geometría 3-D no tiene por qué ser dolorosa o imposible. De hecho, ¡ni siquiera tiene que ser 3-D! Puede hacer mucho con formas tridimensionales descomponiéndolas. Los cubos se convierten en conjuntos de cuadrados, los cilindros se convierten en círculos más rectángulos, y casi todo tiene un triángulo oculto (o dos) que puede usar para ayudarlo a determinar las medidas que faltan.

Todo esto puede parecer que nunca lo manejará por sí mismo, pero piense en ello como una habilidad aprendida. No serás bueno en eso las primeras veces, pero sigue mirando las formas 3-D de esta manera, y eventualmente no podrás mirarlas sin dividirlas mentalmente en pedazos digeribles en 2-D.

Resultado de aprendizaje

Debería poder dividir formas tridimensionales en una colección de formas bidimensionales para facilitar la resolución de problemas de geometría en el SAT después de esta lección en video.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador