Método de lavado en cálculo: fórmula y ejemplos

Definición del método de lavado

El método de la arandela usa la forma de una arandela para ayudarnos a encontrar el volumen de una forma creada al girar dos funciones alrededor del eje x . Una lavadora es una pequeña pieza de hardware que se utiliza en proyectos de construcción y edificación. Está hecho de metal y tiene la forma de una rosquilla plana.

Veamos cómo esta lavadora se relaciona con encontrar nuestro volumen usando el método de la lavadora. El método de lavado se utiliza cuando tiene dos funciones en las que desea encontrar el volumen entre las funciones. Comencemos con un par de funciones simples: y = 1 e y = 2. Esto nos da dos líneas horizontales.

Ahora queremos encontrar el volumen entre estas dos líneas cuando las rotamos alrededor del eje x . ¿Qué sucede cuando rotamos cada línea alrededor del eje x ? Obtenemos un círculo de cada punto de la línea. Si cortamos la forma resultante, el espacio entre las dos líneas rotadas se verá como una arandela.

¿Puedes ver la forma de la arandela en esta ilustración? No importa qué tipo de funciones tenga, la forma que obtenga cuando las corte siempre será una arandela de algún tamaño. Además, siempre tendrá una función exterior y una función interior. En este caso, y = 2 es nuestra función exterior y y = 1 es nuestra función interior.

Fórmula

Esta forma de arandela nos ayuda a encontrar la fórmula del volumen. Sabemos que podemos encontrar el volumen de esta forma tridimensional integrando desde un punto de partida a un punto final. La fórmula que necesitamos nos proporcionará el área de cada rebanada. Bueno, una arandela es simplemente dos círculos de diferente tamaño. Tienes un círculo más pequeño dentro de un círculo más grande. Nuestras funciones proporcionan el radio de cada círculo.

La función exterior es nuestro radio exterior y la función interior es nuestro radio interior. La fórmula para el área de un círculo es pi * r ^ 2. Entonces, el área de la arandela es pi * R ^ 2 – pi * r ^ 2, donde R es el radio externo y r es el radio interno. Conectar las funciones a nuestros respectivos radios nos dará una fórmula para el método de arandela que podemos usar. Veamos qué sucede cuando ponemos en práctica esta fórmula.

Método de lavado con líneas

Comenzaremos con nuestro primer ejemplo con las dos líneas y = 1 y y = 2. Como estas dos líneas continúan indefinidamente, necesitamos especificar un punto de inicio y un punto final. Nuestro punto de partida será x = 0 y nuestro punto final será x = 2.

Repasemos el proceso de evaluación de la integral definida que se produce después de introducir toda la información en la fórmula. Ya hemos establecido que nuestra función externa es y = 2 y nuestra función interna es y = 1. Conecte esta información a la fórmula e integremos.

Entonces, lo que hicimos fue conectar nuestra función externa e interna donde pertenecen y la integramos desde el punto de inicio hasta el punto final. Después de conectar las funciones, pudimos simplificar la integral. En este punto, tomamos la integral definida y la evaluamos para obtener una respuesta de 6 pi. En cálculo, pi generalmente se deja como parte de la respuesta y no se multiplica.

Método de lavado con curvas

Veamos qué sucede cuando tenemos funciones que tienen curvas en ellas. Nuestras dos funciones son y = x ^ 2 e y = x ^ 4. Mirando el gráfico, parece que se cruzan entre sí. Queremos encontrar el volumen de las funciones rotadas entre 0 y la primera intersección en el lado positivo del eje x . ¿Cómo averiguamos dónde se cruzan? Igualamos las funciones entre sí y resolvemos para x .

La gráfica se cruza en 0, 1 y -1. 0 es el punto de partida, por lo que el siguiente punto de intersección es 1. Necesitamos mover todas nuestras variables al mismo lado antes de resolver para no perder ninguna solución (si hubiéramos dividido por x ^ 2 para empezar, deberíamos han perdido la solución 0).

Ahora tenemos un punto inicial de 0 y un punto final de 1. Conecte nuestras funciones a la fórmula del método de la lavadora. Nuestra función externa es y = x ^ 2 porque esa es la que está arriba. Nuestra función interna es y = x ^ 4. Veamos cuál es nuestra solución.

Si nuestras funciones se cruzan entre sí, tenemos que igualarlas entre sí para encontrar dónde se cruzan. Cuando tenemos dos líneas que no se cruzan, no tenemos que hacer eso. Pero ambos escenarios son muy similares y siguen el mismo patrón de resolución. Identificamos nuestras funciones externas e internas y las conectamos a la fórmula, y luego evaluamos la integral definida sobre nuestra región para encontrar nuestro volumen.

Hemos analizado el uso del método de arandela con dos líneas y dos curvas. Como has visto, el método es el mismo, solo cambia la función. Puede usar el método de lavado para cualquiera de las dos funciones que tenga.

Resumen de la lección

Revisemos. El método de arandela es un método bastante sencillo para encontrar el volumen entre dos funciones que giran alrededor del eje x . La fórmula involucra el área de un círculo y es fácil de usar. Si dos funciones se cruzan, necesitamos encontrar dónde se cruzan estableciéndolas iguales entre sí y resolviendo.

Palabras clave y fórmulas

Método de lavado: un método para encontrar el volumen entre dos funciones que giran alrededor del eje x

Área de un círculo: pi * r ^ 2

Área de una arandela: pi * R ^ 2 – pi * r ^ 2 donde R = radio exterior y r = radio interior

Resultado de aprendizaje

Al finalizar, muestre su capacidad para:

• Demuestre el método de lavado usando líneas rectas y curvas
• Escribe las fórmulas para el volumen y el área de las formas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador