Factores cuadráticos irreducibles: definición y significado gráfico

Factores cuadráticos irreducibles

Imagine que está trabajando en un equipo de analistas de alto secreto. Tu última misión es salvar a la humanidad de un asteroide que se dirige hacia la tierra. Mientras usted y su equipo están evaluando la situación, se les ocurre un plan que puede desviar el asteroide. El paso final de este plan es factorizar un polinomio completamente en factores irreductibles, donde un factor irreducible es un polinomio que no es una constante y no se puede factorizar más sobre los números reales. Lo haces bien y terminas con lo siguiente:

x 4 + 3 x 3 – 2 x 2 + 6 x – 8 = ( x – 1) ( x + 4) ( x 2 + 2)

Hmmm … ¿es esto lo más lejos que puedes llevarlo? La supervivencia de la raza humana depende de ti, ¡así que es mejor que investiguemos! Sabes que dos de los factores, x – 1 y x + 4, son factores lineales irreducibles. Esto se debe a que son lineales (tienen un exponente de 1) y se han factorizado tanto como sea posible sobre los números reales. Bien, pero ¿qué pasa con el tercer factor cuadrático, x 2 + 2?

Al factorizar una expresión cuadrática, encontramos los valores de x que harían que la expresión sea igual a cero. Podemos llamar a estos valores una y b , y los usamos en la factorización ( x – a ) ( x – b ). En términos matemáticos, llamamos a y b los ceros de la expresión cuadrática.

Considere nuestro factor cuadrático, x 2 + 2, y encontremos los ceros de esta expresión.

Obtenemos que los ceros son x = ± √ (-2). ¡No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo usando números reales! Debido a que x 2 + 2 no se puede factorizar más sobre los números reales, es un factor cuadrático irreducible. Un factor cuadrático irreducible es un factor irreducible que es cuadrático o tiene un exponente más alto de 2.

Cuando factorizamos un polinomio sobre los números reales, y obtenemos un factor cuadrático que no tiene números reales que lo hagan igual a cero, entonces el factor cuadrático es irreducible y no podemos factorizarlo más sobre los números reales. Informa rápidamente de sus hallazgos a la sede y ellos pueden desviar el asteroide. ¡Uf! ¡Estamos todos a salvo gracias a ti!

Importancia gráfica

Entonces, ¿qué significan gráficamente estos factores cuadráticos irreductibles? Para responder a esta pregunta, hablemos de la relación entre los ceros de un polinomio y las intersecciones x en la gráfica de ese polinomio. Verá, los ceros de un polinomio son los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a 0. Estos valores corresponden a las intersecciones x en la gráfica de ese polinomio, donde las intersecciones x son donde la gráfica cruza el eje x .

Cuando se trata de factores cuadráticos irreducibles, no puede haber intersecciones x correspondientes a este factor, ya que no hay ceros reales. En otras palabras, si tenemos un factor cuadrático irreducible, f ( x ), entonces la gráfica no tendrá intersecciones x si graficamos y = f ( x ).

Por ejemplo, considere nuestro polinomio de asteroides. Si graficamos el factor irreducible x 2 + 2 (no el polinomio completo), vemos que la gráfica no cruza el eje x.

Además, esto nos dice que la gráfica del polinomio completo ( x – 1) ( x + 4) ( x 2 + 2) no tendrá intersecciones x que correspondan a este factor. Sin embargo, todavía tendrá intersecciones x correspondientes a los otros dos factores en x = 1 y x = -4, por lo que sabemos que la gráfica tendrá solo dos intersecciones x .

Tal como esperábamos, hay exactamente dos intersecciones x que se corresponden con los factores lineales irreducibles, pero no intersecciones x que correspondan al factor cuadrático irreducible.

Otro ejemplo

Veamos otro ejemplo para solidificar realmente nuestra comprensión de este concepto. Considere la factorización del siguiente polinomio:

• x 5 – 2 x 4 + 4 x 3 – 8 x 2 + 3 x – 6 = ( x 2 + 1) ( x 2 + 3) ( x – 2)

Vemos que la factorización contiene dos factores cuadráticos irreductibles, x 2 + 1 y x 2 + 3, porque si tratamos de encontrar los ceros de estos dos factores, terminamos con números no reales, ± √ (-1) y ± √ (-3).

Con base en esto, ¿puedes determinar cuántas intersecciones en x tendrá la gráfica del polinomio? Haga una suposición fundamentada y luego mire el gráfico para verificar.

¿ Pensaste que solo habría una intercepción x ? Si es así, ¡buen trabajo! Como muestra la gráfica, hay exactamente una intersección con el eje x . Esta intersección x corresponde al factor lineal irreducible x – 2 en la factorización completa del polinomio. Sabemos esto porque no puede haber ceros reales que correspondan a los factores cuadráticos irreducibles, x 2 + 1 y x 2 + 3, por lo que no puede haber intersecciones x que correspondan a estos factores. Esto deja un cero real, un x intercepción en x = 2 que corresponde al factor lineal irreducible.

Resumen de la lección

Un factor cuadrático irreducible es un factor cuadrático en la factorización de un polinomio que no se puede factorizar más sobre los números reales. Es decir, no tiene ceros reales o valores de x que hagan que el factor sea igual a 0.

Cuando se trata de la factorización completa de polinomios en factores irreducibles, cada factor corresponde a ceros del polinomio. Dado que los factores cuadráticos irreducibles no tienen ceros reales, el polinomio no tiene ceros reales que correspondan a ese factor.

Los ceros reales del polinomio corresponden a las intersecciones x de su gráfico (donde el gráfico del polinomio cruza el eje x ). Cuando la factorización de un polinomio incluye un factor cuadrático irreducible, este factor no tiene ceros reales, por lo que el polinomio no tiene intersecciones x que correspondan a estos factores.

Podemos usar esta información para analizar polinomios y sus gráficos, lo cual es genial, ¡porque nunca se sabe cuándo es posible que necesite saber algo como esto para salvar el mundo!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador