Tasa aproximada de cambio a partir de gráficos y tablas

Tasa de cambio y gráficos

Ha tomado algunos datos sobre una bola que cae. Desea aproximar la tasa de cambio de la altura de la pelota con respecto al tiempo en t = 2 segundos. Puede calcular esta tasa de cambio utilizando la información de los datos que recopiló.

La tasa de cambio de una función es la pendiente de la gráfica de la ecuación en un punto dado de la gráfica. La recta tangente a la gráfica tiene la misma pendiente que la gráfica en ese punto.

La recta tangente a la gráfica tiene la misma pendiente que la gráfica en ese punto.

Puede ser difícil encontrar la pendiente de la recta tangente, por lo que a veces puedes aproximarla mirando la pendiente que conecta dos puntos que están alrededor del punto que te interesa. También puedes usar el punto de interés y otro punto cerca de eso. Esta línea se llama línea secante . Las pendientes de las rectas secantes se pueden utilizar para aproximar la pendiente de la recta tangente.

La línea secante

A veces, la información sobre los dos puntos que utilizará se puede encontrar en una tabla y, a veces, vendrá de un gráfico. ¡Veamos ambos!

Cómo calcular la tasa de cambio

Cuando conoces las coordenadas de dos puntos en un gráfico, puedes calcular la pendiente del segmento de línea que los conecta. Recuerda que la fórmula de la pendiente viene dada por:

Ahora, así es como aproximamos la tasa de cambio utilizando una tabla. Veamos una tabla y calculemos la tasa de cambio aproximada entre x = 3 yx = 6.

Luego, podemos sustituir los valores de la tabla, usando los puntos (3, 5.5) y (6, 7), en la fórmula de la pendiente que, como puede ver, es:

Podemos utilizar esta pendiente para aproximarse a la velocidad de cambio de la gráfica en x -valores entre x = 3 y x = 6. La tasa aproximada de cambio de la función es de aproximadamente 0,5. Cuanto más cerca estén los dos valores de x , más precisa será la aproximación.

Ahora hagamos una aproximación de la tasa de cambio usando una gráfica. Si la información es de un gráfico, entonces usa las coordenadas de dos puntos del gráfico para aproximar la tasa de cambio o pendiente del gráfico entre los dos puntos. Deberá estimar las coordenadas de los dos puntos como parte de este proceso.

Aproximemos la pendiente del gráfico en x = 2 en el siguiente gráfico, que aparece aquí:

Puede comenzar mirando entre x = 1 y x = 2. Parece que las coordenadas de los dos puntos son (1, 1) y (2, 1.4). Ahora puede comparar ese cálculo con la pendiente entre los puntos cuando x = 2 y x = 4, que son los puntos (2, 1.4) y (4, 2).

Observe con estas fórmulas que las pendientes son un poco diferentes. Puede decir que la pendiente aproximada de la gráfica en x = 2 está entre 0.4 y 0.3. Resulta que la pendiente real del gráfico en x = 2 es 0.35, por lo que la aproximación fue bastante precisa.

Ejemplo de la vida real

Aquí está usando una tabla. Volvamos a nuestro ejemplo de apertura. Aquí hay una tabla que muestra la relación entre la altura de una bola que cae y el tiempo. Úselo para aproximar la tasa de cambio de la altura con respecto al tiempo en t = 2 seg.

Primero, puede usar dos puntos de datos alrededor de t = 2. ¿Qué tal t = 1.5 y t = 2.5? Luego, sustituye la información de la tabla por esos dos valores de t en la fórmula de la pendiente que, como puede ver, es:

Entonces, ahora sabe que a los 2 segundos la pelota cae a aproximadamente -64 pies / s. Observe que las unidades de medida de la tasa de cambio coinciden con las unidades de medida del numerador y denominador de la fórmula de la pendiente. También puede haber reconocido que la tasa de cambio en este ejemplo es la misma que la velocidad, ¡y lo es! Esta tasa de cambio, que es una velocidad, es negativa porque la pelota está cayendo.

Y ahora aquí está usando un gráfico. Aquí hay un gráfico que muestra una relación entre la velocidad de la pelota (m / s) y el tiempo (s). Desea utilizar la gráfica para aproximar la tasa de cambio de velocidad con respecto al tiempo, de t = 4 a t = 5.

Primero, aproxima las coordenadas de los dos puntos. Parece que están cerca de las coordenadas (4, 12) y (5, 30). Luego, sustituya las coordenadas de los puntos en la fórmula de la pendiente que, como puede ver, es:

Entonces, parece que la tasa aproximada de cambio de velocidad con respecto al tiempo en esta parte del gráfico es 18 m / s². Esta tasa de cambio se relaciona con la aceleración de t = 4 a t = 5.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido. La tasa de cambio de una función es la pendiente de la gráfica de la ecuación en un punto dado de la gráfica. La recta tangente a la gráfica tiene la misma pendiente que la gráfica en ese punto. Puede aproximar la pendiente de la recta tangente mirando dos puntos alrededor del punto que le interesa, o utilizando el punto de interés y otro punto cercano a él, llamado recta secante . Las pendientes de las rectas secantes se pueden utilizar para aproximar la pendiente de la recta tangente. Las coordenadas de estos dos puntos pueden provenir de una tabla o aproximando las coordenadas de los puntos en un gráfico.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador