Forma logarítmica: conversión y descripción general

Ecuaciones exponenciales

A veces puede tener una ecuación exponencial (una ecuación con una variable en un exponente) y desea resolver esa variable. Por ejemplo, suponga que tiene alguna de las siguientes ecuaciones:

Estas tres ecuaciones tienen en común que x está en el exponente. Todas son ecuaciones exponenciales. En los tres casos, resolver para x es complicado; de hecho, solo es posible si usa logaritmos.

Logaritmos e inversos

Quizás recuerde que resolver (o ‘aislar’) una variable en una ecuación algebraica significa usar una inversa . Por ejemplo, si tienes y = 3 x , la x se multiplica por 3. Para aislar la x , tienes que hacer lo opuesto a multiplicar por 3. Tienes que dividir por 3. La multiplicación y la división son inversas, o opuestas, procedimientos. Uno deshace el efecto del otro. De manera similar, la suma y la resta son operaciones inversas. Si tiene y = x + 5, entonces resta 5 (opuesto a sumar 5), para aislar la x .

Es un poco como seguir un conjunto complejo de instrucciones que imprimió para ir de su casa a recoger la fecha en la que se conocieron en Internet. Llegar allí no está tan mal. Pero, cuando conoces a tu cita y te das cuenta de que es unos 30 años mayor que la persona con la que pensabas estar, volver a casa es un poco más complicado. Tienes que seguir las instrucciones al revés. Tienes que hacer lo contrario, o inverso, de todo lo que hiciste para llegar allí.

Si estás elevando un número a una potencia (por ejemplo, 3 ^ x ), entonces lo opuesto a elevar el número a la potencia es tomar su logaritmo. Así como resuelves y = 7x dividiendo ambos lados entre 7, resuelves y = 10 ^ x tomando el logaritmo (base 10) de ambos lados.

Otro enfoque para resolver una variable en un exponente es convertir la ecuación exponencial a forma logarítmica; reescribirla como una ecuación logarítmica.

Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es simplemente una ecuación con un logaritmo y una variable dentro de la parte logarítmica.

Por ejemplo, todas estas son ecuaciones logarítmicas:

Forma exponencial y logarítmica

Cada ecuación que está en forma exponencial tiene una forma logarítmica equivalente y viceversa.

Por ejemplo, las siguientes dos ecuaciones son equivalentes:

Ambas ecuaciones tienen una ‘b’, la base, una xy una y .

Estas dos ecuaciones son equivalentes, al igual que estas dos ecuaciones son equivalentes: y = x + 9 e y – 9 = x . Usando álgebra, puedes pasar de uno a otro.

Conversión a forma logarítmica

Puede convertir de forma exponencial a logarítmica simplemente memorizando el patrón. Todo lo que estaba en el exponente en la forma exponencial (en rojo) va solo, al otro lado del signo igual, en la forma logarítmica. Lo que sea que esté por sí solo en la forma exponencial (en verde), va dentro de la parte del registro (escrito a la derecha de la palabra ‘registro’) en forma logarítmica.

He aquí una forma de recordarlo:

Imagina que eres un niño y que tus padres te han mandado a la habitación por la noche por intentar dividir por cero, lo que todos sabemos que podría provocar la implosión del universo. Da la casualidad de que tienes la suerte de tener un gemelo idéntico, por lo que elaboras un plan. Puede escabullirse de la casa para asistir a la convención local de Star Trek, pero ella tendrá que ocupar su lugar. Si quieres ser «libre», tendrás que «encerrarla». Si te quedas encerrado, ella puede permanecer libre. Ambos no pueden salir a la vez.

Si una ecuación está en forma exponencial, lo que esté en el exponente está «bloqueado». Realmente no se puede llegar a él o aislarlo. Sin embargo, lo que está al otro lado de la ecuación es «gratis». Es fácil de manipular. Sin embargo, si la ecuación está en forma de registro, la parte dentro del ‘registro’ está bloqueada. No se puede aislar sin volver a la forma exponencial.

En la ecuación (1), por ejemplo, la y se puede resolver fácilmente restando ambos lados por 5 y luego dividiendo por 3. La parte y es ‘libre’. El x , sin embargo, no puede resolverse fácilmente para (sin usar logs) ya que está encerrado en el exponente.

Si cambia la ecuación a forma logarítmica, la parte verde de la izquierda (3 y + 5) cambiará su libertad por la libertad de la parte roja (-3 x ). La ecuación (2) ahora está en forma de registro.

Ahora, la parte roja (-3 x ) se puede resolver para su variable ( x ), pero la parte verde (3 y +5) está bloqueada. Ambas variables no pueden ser libres al mismo tiempo, al igual que usted y su gemelo idéntico no pueden escapar de la conexión a tierra simultáneamente porque sus padres tienen una cámara de video instalada en su habitación. Uno u otro de ustedes tendrá que perderse la convención de Star Trek.

Quizás se pregunte qué utilidad tiene esto. ¿De qué sirve convertir a forma logarítmica, si todo lo que hace es liberar una variable a expensas de la otra?

Bueno, una razón para convertir formularios es que a veces solo hay una variable. Por ejemplo, suponga que tiene: 100.000 = 10 ^ (2 x + 1). Quieres resolver para x . Puede averiguar qué es x al pensarlo lógicamente, pero también puede resolver para x convirtiéndolo a la forma logarítmica. Recuerde: convertir la forma significa que el prisionero queda libre y la persona libre queda prisionera. En este caso, el 2 x + 1 está aprisionado y quedará libre para que pueda resolver x . El 100.000 ahora está libre pero quedará aprisionado por el logaritmo. Sin embargo, eso no es realmente un problema, porque encontrar log (100,000) es fácil; puede hacerlo en su cabeza o usar una calculadora.

Entonces, la ecuación se convierte en: 2 x + 1 = log (100,000). Todo lo que tienes que hacer es restar 1 y luego dividir por 2 y habrás resuelto para x .

Resumen de la lección

La conversión a forma logarítmica requiere simplemente reorganizar una ecuación exponencial. La parte que estaba atascada en el exponente ahora se convierte en ‘libre’ en el otro lado de la ecuación. La parte que estaba ‘libre’ en el otro lado de la ecuación se ‘encierra’ dentro del registro. Este proceso suele ser útil cuando necesita resolver una variable que está en un exponente.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Definir ecuación exponencial y ecuación logarítmica
• Explicar cómo convertir de forma exponencial a logarítmica para resolver una variable

Rodrigo Ricardo Editor y fundador