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Ángulos centrales e inscritos: definiciones y ejemplos

Publicado el 22 septiembre, 2020

Círculos y ángulos

Aquí tienes un reloj. Esta hora en particular, las 3 en punto, es memorable. Cuando estaba en la escuela secundaria, era lo que siempre esperaba ver cuando miraba hacia arriba, esperando que sonara la campana final.

Pero este reloj es más que una forma de decir la hora. También es un círculo. ¿Y el minutero? Es un radio o una línea que se extiende desde el centro del círculo hasta su borde o circunferencia. Sí, estamos hablando de geometría aquí. Si tomamos la manecilla de la hora y la extendemos a la circunferencia, entonces también es un radio.


Radio de un reloj
Radio en el reloj

Ángulos centrales

Estas dos líneas nos muestran las tres en punto. ¿Y este ángulo aquí? Se llama ángulo central. Un ángulo central es el ángulo formado por dos radios en un círculo.


Ángulo central
Ángulo central

¿Cuántos grados en total hay en un círculo? En otras palabras, en una hora, ¿cuántos grados recorre el minutero? 360. Entonces, nuestro ángulo central estará entre 0, como este reloj a las 12 en punto, y 360, como este reloj también a las 12 en punto. Si ponemos puntos en el círculo de esta manera, entonces podemos nombrar nuestro ángulo. Este es el ángulo AOB.

Ah, y si dibujamos un segmento de línea conocido como acorde aquí mismo, hacemos un triángulo. Un acorde es solo una línea con puntos finales en un círculo. Ahora bien, ¿qué sabemos sobre este triángulo? Primero, si este acorde es nuestro segundero, entonces nuestro reloj está totalmente roto. Pero digamos que es solo un acorde.

Las dos líneas de radio son iguales, ya que ambas viajan la misma distancia desde el centro del círculo. Entonces este es un triángulo isósceles. Eso significa que el ángulo OAB y el ángulo OBA son iguales.


Triángulo isósceles
Isósceles Tri

Practica con ángulos centrales

Practiquemos un poco con ángulos centrales. Primero, hablemos de tiempo. Las 3 en punto son exactamente un cuarto del círculo, por lo que este ángulo central es un cuarto de 360 ​​o 90 grados. ¿Qué tal las 6 en punto? Eso es la mitad del círculo, entonces es 180 grados.

Ahora veamos un triángulo que involucra un ángulo central. ¿Cuál es la medida del ángulo central en este círculo? Podemos ver que el ángulo OAB es de 50 grados. Dado que tanto OA como OB son líneas de radio, son iguales y este es un triángulo isósceles. Eso significa que el ángulo OBA también es de 50 grados. Dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180, entonces el ángulo central, el ángulo AOB, debe ser 180 – 100 u 80 grados.

Ángulos inscritos

Ahora, aquí hay un reloj de aspecto extraño. ¿Se rompieron nuestras manecillas de minutos y horas? No, pero este reloj no es completamente funcional como reloj. En lugar de dos radios, donde las líneas se originan en el centro del círculo, tenemos dos líneas que comienzan en la circunferencia.

Este es un ángulo inscrito , o el ángulo formado por puntos en la circunferencia del círculo. En este ángulo, que llamamos ángulo ACB, el punto C es el vértice y los puntos A y B son los extremos.


Ángulo inscrito
Ángulo inscrito

Los ángulos inscritos tienen algunas propiedades especiales. Primero, con puntos finales fijos, la medida del ángulo inscrito permanece igual independientemente de la ubicación del vértice. Entonces podemos mover C en cualquier lugar a lo largo de la circunferencia y este ángulo no cambia. Eso significa que cuando tenemos dos ángulos inscritos, como vemos aquí, los ángulos son los mismos.


Dos
Dos ángulos inscritos

En segundo lugar, cuando comparten puntos finales, la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida de un ángulo central. Entonces, en este círculo, el ángulo AOB es el doble del ángulo ACB. Esto funciona siempre que el punto C, el vértice del ángulo inscrito, no esté en el arco formado por el ángulo central. Si está en ese arco, bueno, se verá un poco al revés. Y luego su medida sería el suplemento de la mitad del ángulo central.

Practica con ángulos inscritos

Practiquemos lo que acabamos de aprender. Aquí hay un círculo con dos ángulos inscritos. Sabemos que el ángulo ACB es de 28 grados. ¿Qué es el ángulo ADB? Dado que ambos ángulos comparten puntos finales, el ángulo ADB también debe ser de 28 grados.


Ángulo inscrito ACB
Práctica inscrita

De acuerdo, ¿qué pasa con este? ¿Cuál es la medida del ángulo central, ángulo AOB? Sabemos que el ángulo inscrito, el ángulo ACB, es de 22 grados. Entonces el ángulo central será el doble, o 44 grados.


Ángulo inscrito ACB
Ángulo inscrito ACB

En este ejemplo, sabemos que el ángulo central, el ángulo AOB, es de 60 grados. Entonces, ¿cuál es el ángulo inscrito, el ángulo ACB? Este es solo el reverso del anterior. Es la mitad del ángulo central o 30 grados.


¿Qué es el ángulo ACB?
Ángulo inscrito 60

Seamos un poco más complicados. Mira este. ¿Cuál es el ángulo inscrito, el ángulo ACB? Aquí tenemos un triángulo isósceles y sabemos que este ángulo es de 40 grados. Entonces este ángulo también es de 40 grados. Eso hace que nuestro ángulo central sea de 180 – 80 o 100 grados. Y sabemos que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, por lo que el ángulo ACB es igual a 50 grados.


Ángulo central ACB 50 grados
Ángulo complicado

Aquí hay otro complicado. ¿Cuál es la medida del ángulo CAD? Bueno, hay dos ángulos inscritos que comparten puntos finales. Sabemos que los ángulos son los mismos, pero no conocemos ninguno. Afortunadamente, conocemos algunos de los otros ángulos y podemos utilizar nuestras habilidades de asistente de geometría.

Sabemos que este ángulo, ángulo BXD, es de 100 grados. Eso significa que el ángulo AXC también es de 100 grados. ¿Por qué? Son ángulos verticales o ángulos opuestos entre sí. Siempre van a ser los mismos. Bueno, mira lo que acabamos de hacer. Acabamos de encontrar dos de tres ángulos dentro de un triángulo. Si el ángulo ACB es de 28 grados. entonces el ángulo CAD es solo 180 menos 128, o 52 grados.


Ángulo CAD 52 grados
Ángulo inscrito 52

Resumen de la lección

En resumen, el ángulo central en un círculo es el ángulo formado por dos líneas de radio. Un ángulo inscrito es el ángulo formado por puntos en la circunferencia del círculo. Hay algunas cosas clave que debe saber sobre los ángulos centrales e inscritos. Con ángulos centrales, una cuerda que conecta los puntos de la circunferencia forma un triángulo isósceles.

Los ángulos centrales también son el doble de la medida de los ángulos inscritos que comparten los mismos puntos finales. Además, dos ángulos inscritos que comparten puntos finales serán iguales, incluso si sus vértices no son iguales. Y volviendo a nuestro reloj, ahora es el equivalente a las 3 en punto para esta lección. ¡Lo hicimos!

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección, debería poder:

  • Comprender los ángulos centrales formados en un círculo.
  • Identificar ángulos inscritos formados en un círculo.
  • Resolver los ángulos faltantes con triángulos isósceles en los ángulos inscritos

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