Ángulos coterminales: definición y ejemplos

¿Qué son los ángulos coterminales?

Los ángulos coterminales son dos (o más) ángulos que tienen sus lados inicial y terminal en las mismas posiciones. Sin embargo, las medidas de los ángulos difieren porque:

• Un ángulo se mide en sentido horario y el otro en sentido antihorario
• Los lados terminales de los ángulos completaron diferentes rotaciones completas

Revisión de terminología de ángulos

Repasemos la configuración estándar para ángulos en trigonometría. Comenzaremos con el ángulo creado por las manecillas de un reloj a las 3:15, cuando tanto la manecilla de la hora como la manecilla de los minutos apuntan al 3. Esto forma un ángulo que mide 0 grados. A menudo ves ángulos en trigonometría en un plano de coordenadas. Es por eso también he dibujado x – y y -axes en el reloj. Entonces, los lados de nuestro ángulo están alineados con el eje x positivo .

Para todos los ángulos de esta lección, mantenemos un lado del ángulo en el eje x positivo y el vértice en el origen. Esta se considera la posición estándar para un ángulo. El lado a lo largo del eje x positivo se llama lado inicial . En todos los diagramas de esta lección, el lado rojo es el lado inicial. Rotamos el otro lado del ángulo, llamado lado terminal , para barrer la medida del ángulo. A lo largo de la lección, el lado azul será el lado terminal.

Además, recuerde la dirección en la que se miden los ángulos. Un ángulo con una medida positiva tiene un lado terminal que gira en sentido antihorario. Un ángulo con una medida negativa tiene un lado terminal que gira en sentido horario.

Medición de ángulos coterminales

¿Qué medidas de ángulos resultarían en la misma posición lateral inicial y terminal que un ángulo de 0 grados? Imagínese si gira el lado de la terminal en sentido antihorario una vez alrededor del círculo hasta que ambos lados del ángulo apunten nuevamente hacia el 3. El resultado final se ve igual que el ángulo de 0 grados. Sin embargo, el lado azul se rotó 360 grados. Por lo tanto, 360 grados es un ángulo coterminal a 0 grados. La única diferencia en las medidas está indicada por la flecha de rotación.

Si el lado del terminal completa una rotación completa en el sentido de las agujas del reloj hasta que apunte nuevamente hacia el 3, habrá girado un ángulo de -360 grados. Por lo tanto, -360 grados también es un ángulo coterminal a 0 grados. Observe a continuación que la posición final de los lados del ángulo se ve igual para 0 grados y -360 grados (así como los 360 grados de antes).

El lado terminal podría girar varias rotaciones completas y siempre que la posición final de los lados del ángulo los tenga ambos apuntando al 3, tendría un ángulo coterminal de 0 grados. Por ejemplo, si hicieras 5 rotaciones en sentido antihorario, entonces tendrías un ángulo que mide 1800 grados porque 5 x 360 = 1800.

Puede resultar útil saber cuántos grados hay en múltiplos de rotaciones completas:

• 1 rotación = 360 grados
• 2 rotaciones = 720 grados
• 3 rotaciones = 1080 grados

Ejemplos

Ahora, repasemos un par de problemas de ejemplo comunes relacionados con los ángulos coterminales.

Para el primer ejemplo, debe encontrar un ángulo positivo y uno negativo que sea coterminal a un ángulo que mide 60 grados.

Un ángulo de 60 grados en la posición estándar tendría el lado inicial todavía en el eje x positivo (apuntando hacia el 3). Se crearía un ángulo de 60 grados girando el lado del terminal en sentido antihorario desde el 3 para apuntar hacia el 1 en el reloj, como se muestra a continuación.

¿De qué otra manera podemos obtener las mismas posiciones de los lados inicial y terminal? Puede girar el lado del terminal desde el 3 en el sentido de las agujas del reloj hasta que apunte al 1. Esto daría como resultado un ángulo de 300 grados porque giró en el sentido de las agujas del reloj y se detuvo 60 grados antes de completar una rotación completa. Por lo tanto, 60 grados y -300 grados son ángulos coterminales. Aquí se muestra la rotación de -300 grados.

Infinitamente muchos otros ángulos son coterminales a 60 grados. Cada vez que sume o reste un múltiplo de 360 ​​grados a 60 grados, terminará con un ángulo coterminal de 60 grados.

Ahora probemos con un tipo diferente de ejemplo:

Encuentre el ángulo coterminal positivo más pequeño para un ángulo que mide 759 grados.

Para iniciar este problema, debemos darnos cuenta de que 759 grados incluye un par de rotaciones completas. Entonces, podemos girar el lado del terminal en el sentido de las agujas del reloj a través de dos rotaciones completas restando 720 grados. 759 – 720 = 39 grados. El ángulo positivo más pequeño para 759 grados es un ángulo que mide 39 grados.

Probemos con otro ejemplo como este, pero esta vez con un ángulo negativo.

Encuentre el ángulo coterminal positivo más pequeño para un ángulo que mide -400 grados. Dado que el ángulo es negativo, sabemos que el lado terminal giró en el sentido de las agujas del reloj. Una rotación en el sentido de las agujas del reloj habría sido de -360 grados, por lo que a -400 grados hemos pasado de una rotación completa. Entonces, comencemos agregando -400 + 360 = -40 grados. Eso quita la rotación completa. Sin embargo, todavía tenemos un ángulo negativo y el planteamiento del problema pedía un ángulo positivo. Entonces, si agregamos 360 nuevamente, giramos el lado del terminal en sentido antihorario para terminar con un ángulo coterminal positivo de 320 grados.

Resumen de la lección

Revisemos.

• Los ángulos coterminales son ángulos que se ven iguales en su posición final pero que difieren en el número de rotaciones completas que se completaron.
• Un ángulo con una medida positiva tiene un lado terminal que gira en sentido antihorario. Un ángulo con una medida negativa tiene un lado terminal que gira en sentido horario.
• Hay infinitos ángulos coterminales para un ángulo en particular. Se encuentran sumando o restando múltiplos de 360 ​​grados a la medida del ángulo en particular.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador