Definición de una apotema
En matemáticas, un polígono regular es un polígono con n lados, todos con la misma longitud. Cada polígono regular tiene un radio, un apotema, un círculo y un círculo.
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El radio de un polígono regular es la línea que conecta el centro del polígono con uno de sus vértices. El circuncírculo es el círculo alrededor del exterior del polígono que conecta todos sus vértices. El radio del polígono es también el radio de la circunferencia. El incírculo es el círculo en el interior del polígono que toca cada uno de los puntos medios de los lados. Por último, la apotema es la línea que conecta el centro del polígono con el punto medio de uno de los lados del polígono. La apotema es también el radio del círculo. Quizás se esté preguntando cómo se vería una apotema en un polígono irregular o en un polígono con lados de diferentes longitudes. Los polígonos irregulares no tienen un punto central, por lo que no tienen apotema. Tiene sentido, ¿verdad? Los apotemas solo se aplican a polígonos regulares.
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Cada uno de los polígonos regulares que se muestran tiene una apotema. Un polígono regular de n lados siempre tiene un apotema sin importar cuántos lados tenga. La longitud de la apotema se puede utilizar para calcular otras características de un polígono.
Apotema y área
El perímetro de un polígono regular es la distancia alrededor del polígono. Si conocemos la longitud de la apotema y el perímetro de un polígono regular, podemos calcular el área del polígono usando la fórmula: A = (1/2) aP donde a es la longitud de la apotema y P es el perímetro. Por ejemplo, consideremos un polígono regular de 5 lados con una longitud de apotema de 4.817 unidades y un perímetro de 35 unidades. El área de este polígono se puede encontrar reemplazando 4.817 para a y 35 para P en la fórmula para obtener: A = (1/2) (4.817) (35) = 84.2975 unidades cuadradas El área de este polígono es 84,2975 unidades cuadradas.
Más fórmulas
También podemos usar la fórmula del área para encontrar la apotema si conocemos tanto el área como el perímetro de un polígono. Esto se debe a que podemos resolver para a en la fórmula, A = (1/2) aP , multiplicando ambos lados por 2 y dividiendo por P para obtener 2 A / P = a . Regresemos a la imagen del polígono regular de 5 lados y supongamos que, si bien no conocemos la apotema, sí sabemos que el área es 84,2975 unidades cuadradas y el perímetro es 35 unidades. Cuando conectamos estos números en la fórmula de la apotema, obtenemos: a = 2 (84.2975) / 35 = 4.817 unidades Aquí, la apotema tiene una longitud de 4.817 unidades. A veces, no conocemos el área o el perímetro de un polígono regular de n lados. Cuando este es el caso, tenemos una fórmula que podemos usar para encontrar la longitud de la apotema sabiendo solo la longitud de un lado de un polígono. Cuando sólo se sabe la longitud de un lado, lo llamamos es de un n -sided polígono regular, y podemos usar la siguiente fórmula: a = s / (2tan (180 / n )) para encontrar la longitud de la apotema.
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Consideremos nuevamente nuestro polígono regular de 5 lados. Dado que su perímetro es de 35 unidades y los cinco lados tienen la misma longitud: 35/5 = 7 unidades. Cuando conectamos los números 5 y 7 en la fórmula de la apotema, obtenemos:
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La apotema en este polígono regular tiene una longitud de 4.817 unidades.
Ejemplo
Una señal de alto es un polígono regular de 8 lados con longitudes de lado de aproximadamente 12.4 pulgadas.
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Suponga que queremos encontrar el área de la señal de pare. Podemos hacerlo encontrando primero la longitud del apotema, a , y el perímetro, P , luego conectando esos números en la fórmula del área: A = (1/2) aP Como los ocho lados de la señal de alto miden 12,4 pulgadas de largo, multiplicamos 12,4 por 8 para encontrar el perímetro: P = 12,4 * 8 = 99,2 pulgadas cuadradas Para encontrar la apotema, conectamos la longitud de los lados, o 12.4, y el número de lados, o 8, en la fórmula de la apotema: a = s / (2tan (180 / n )) para obtener a = 12,4 / 2tan (180/8) = 14,968 Redondeando a la pulgada entera más cercana, la apotema tiene una longitud de aproximadamente 15 pulgadas. Ahora podemos encontrar el área. Conectamos la apotema y el perímetro de la señal de alto en la fórmula del área para obtener: A = (1/2) (15) (12,4) = 93 pulgadas cuadradas
Resumen de la lección
Una apotema es la línea que conecta el centro de un polígono regular con el punto medio de uno de los lados del polígono. Podemos encontrar la longitud de la apotema si conocemos la longitud de uno de los lados, os , de un polígono regular de n lados usando la fórmula: a = s / (2tan (180 / n )) Una vez que conocemos la longitud de la apotema de un polígono regular, así como su perímetro, podemos encontrar el área de ese polígono usando la fórmula: A = (1/2) aP Conocer estos datos sobre una apotema facilita mucho el análisis de un polígono regular de n lados.
Revisión de Apotema
| El Apotema |
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| Encontrado en un polígono regular (todos lados iguales) |
| ¿Es la línea que conecta el centro de un polígono regular con el punto medio de uno de los lados? |
| Es también el radio del círculo del polígono |
| Longitud calculada por: a = s / (2tan (180 / n )) |
| Se puede usar para encontrar el área de un polígono regular: A = (1/2) aP |
Los resultados del aprendizaje
Cuando haya terminado, debería poder:
- Definir polígono regular y apotema
- Escribe la fórmula para determinar la longitud de la apotema.
- Calcula el área de un polígono usando la apotema
Continúa con:
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