El triángulo de Sierpinski
Suponga que está aburrido en clase, y sus ojos se desvían hacia las notas de su vecino y lo ve garabateando un diseño realmente elegante como se muestra en la imagen.
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Da la casualidad de que este resultado del aburrimiento es en realidad un concepto matemático fascinante llamado Triángulo de Sierpinski. El Triángulo de Sierpinski es un fractal similar a sí mismo … Ups, ¿todavía estás conmigo? ¡Primero definamos un fractal y una forma auto-similar antes de llegar a la definición del Triángulo de Sierpinski!
- Fractal : un fractal es una construcción geométrica que se crea al realizar repetidamente el mismo proceso u operación en una forma.
- Formas auto-similares: una forma auto-similar es una figura que es similar (o parece) parte de sí misma.
¡Ah, eso está mejor! ¡Bien, ahora intentemos eso de nuevo! El Triángulo de Sierpinski es un fractal auto-similar que se puede crear de manera bastante simple siguiendo los siguientes pasos:
Plan de lección del triángulo de Sierpinski
- Comienza con un triángulo equilátero.
- Encuentre los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo y conéctelos usando segmentos de línea. Esto dividirá el triángulo en cuatro triángulos de igual tamaño. Quita el triángulo central que acabas de crear.
- Haz lo mismo con los tres triángulos restantes dentro del triángulo original.
- Continúe este proceso para cada nuevo triángulo creado indefinidamente.
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¡Esa construcción es bastante simple considerando lo detallado que se ve el resultado final! En realidad, esta no es la única forma de construir un triángulo de Sierpinski. Otra forma involucra el juego del caos, y es un poco sorprendente. ¡Vamos a explorar!
El juego del caos y el triángulo de Sierpinski
En matemáticas, el juego del caos es una manipulación de un polígono de tal manera que a menudo, pero no siempre, se crea un fractal. Implica comenzar con un punto aleatorio inicial dentro del polígono y trazar puntos dentro del polígono que son una fracción dada entre los vértices del polígono y esos puntos.
El uso de un triángulo equilátero como polígono y una fracción de 1/2 dará como resultado el triángulo de Sierpinski. ¡No es de extrañar que se llame el juego del caos! ¡Eso suena un poco confuso! Vamos a utilizar un triángulo equilátero y 1/2 como fracción para comprender mejor el proceso de construcción y el juego del caos en sí. Los pasos que usamos en el juego del caos para crear un triángulo de Sierpinski son los siguientes:
Plan de lección del triángulo isósceles
- Comienza con un triángulo equilátero.
- Elija uno de los vértices de los triángulos y un punto aleatorio dentro del triángulo.
- Trace el punto que está a medio camino entre el vértice y el punto aleatorio.
- Usa el punto que acabas de trazar y uno de los vértices del triángulo y comienza de nuevo en el paso tres.
- Continúe este proceso indefinidamente.
Este proceso debe realizarse durante bastante tiempo, pero lo crea o no, después de un largo tiempo de hacer esto, el triángulo se parecerá cada vez más al Triángulo de Sierpinski.
Ejemplo
Debido al hecho de que usar el juego del caos para construir el Triángulo de Sierpinski implica repetir el procedimiento una gran cantidad de veces para que el triángulo se parezca realmente al Triángulo de Sierpinski, las computadoras se usan normalmente para este tipo de construcción. Sin embargo, echemos un vistazo a hacer esto por algunos pasos, para que podamos echar un vistazo al juego del caos y comprender cómo se realizan mejor los pasos.
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¡Tienes que admitir que está bastante bien! Los vértices y el punto inicial se eligen completamente al azar, pero de alguna manera este procedimiento caótico da como resultado el triángulo de Sierpinski. Es decir, la construcción que da como resultado un triángulo de Sierpinski depende completamente del caos y la aleatoriedad en lugar de una elección específica de vértices. Es por eso que el juego del caos se llama juego del ‘caos’.
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Resumen de la lección
El Triángulo de Sierpinski es un fractal similar a sí mismo que se puede construir de dos maneras. El primero es bastante simple y es el siguiente:
- Comienza con un triángulo equilátero.
- Conecta los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo. Quita el triángulo central que acabas de crear.
- Haz lo mismo con los tres triángulos restantes que se crearon dentro del triángulo original.
- Continúe este proceso para cada nuevo triángulo creado indefinidamente.
El segundo involucra el juego del caos , o una manipulación de polígonos utilizados para crear fractales, y depende completamente de la aleatoriedad. Los pasos de este método de construcción son los siguientes:
- Comienza con un triángulo equilátero.
- Elija uno de los vértices de los triángulos y un punto aleatorio dentro del triángulo.
- Trace el punto que está a medio camino entre el vértice y el punto aleatorio.
- Usa el punto que acabas de trazar y uno de los vértices del triángulo y comienza de nuevo en el paso tres.
- Continúe este proceso indefinidamente.
¡Todo esto es genial! No solo estamos ahora más familiarizados con el Triángulo de Sierpinski y su construcción usando el juego del caos, sino que también tenemos una gran idea nueva de un garabato para crear en cualquier momento que tengamos algo de tiempo para matar. Diablos, si es durante la clase de matemáticas, ¡quizás su instructor lo cuente como crédito adicional!
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