Asíntota: definición y significado

¿Qué es una asíntota?

Una asíntota es un valor al que te acercas cada vez más, pero nunca lo alcanzas. En matemáticas, una asíntota es una línea horizontal, vertical o inclinada a la que se acerca una gráfica pero nunca la toca.

Imagina que estás caminando de regreso a tu auto que está estacionado en la esquina más alejada del estacionamiento del centro comercial. Después de un largo día de compras, estás agotado. Después de aproximadamente un minuto de caminar, está a la mitad del camino hacia su automóvil, pero nota que está disminuyendo gradualmente la velocidad. Otro minuto más tarde, solo ha caminado otro 1/4 del camino hasta su automóvil. Sus piernas continúan sintiéndose cada vez más pesadas. Después de un tercer minuto, estás solo otro 1/8 del camino más cerca. El patrón continúa. A medida que su cuerpo agotado por las compras se arrastra aún más y más, parece que nunca llegará allí. Cada minuto adicional solo lo lleva a la mitad del camino hacia el automóvil desde donde estaba anteriormente.

Tu viaje a tu coche

Bueno, aquí está la sorpresa: si este patrón continúa, entonces, en teoría, nunca llegarás allí. Sí, te acercas cada vez más a tu coche por minutos, pero las distancias que viajas se hacen cada vez más pequeñas. Con el tiempo te acercas mucho, mucho. Te acercas tanto que puedes tocar tu coche. Te acercas tanto que tus pasos son más pequeños que la cabeza de un alfiler, pero siempre estás cubriendo solo la mitad de la distancia restante hasta el automóvil.

Esta situación, a menudo llamada la paradoja de Zeno , es un poco tonta en realidad: en algún momento, no importa lo cansado que esté, camina más de la mitad de la distancia restante hasta su automóvil. La cantidad que te queda por recorrer es menos de un paso, así que simplemente tómalo y llega; sin embargo, a los matemáticos a menudo les gusta pensar en el mundo de la teoría.

Suponga, por ejemplo, que hay un campo de fuerza alrededor de su automóvil. A medida que se acerca al automóvil, cada vez es más difícil acercarse. Ahora se requiere una enorme cantidad de esfuerzo para dar cada paso, por lo que se vuelven más pequeños. Literalmente, no puede alcanzar su automóvil porque, una vez que está realmente cerca del automóvil, la fuerza que se necesitaría para llegar hasta allí es demasiado fuerte para que la supere. Así es como el matemático piensa sobre las asíntotas: hay un lugar al que un gráfico puede acercarse cada vez más, pero nunca llegar.

Asíntotas horizontales

Una asíntota horizontal ocurre cuando un gráfico no puede alcanzar una línea horizontal ( y no puede igualar algún valor). Esa línea podría ser el eje x .

Pero también puede haber una asíntota horizontal en otro lugar. En la siguiente figura, hay una asíntota horizontal en y = 3. En otras palabras, y nunca puede ser igual a 3, pero se acerca a medida que x aumenta.

Asíntotas verticales

Una asíntota vertical ocurre cuando x no puede igualar algún valor. Por ejemplo, si grafica y = 1 / x , verá que x nunca puede ser igual a cero. Entonces, hay una asíntota vertical en x = 0. También hay una asíntota horizontal en y = 0. Una gráfica puede tener ambos tipos de asíntotas.

Asíntotas inclinadas

A veces, hay una línea inclinada o diagonal a la que se acerca una curva pero nunca llega. Una vez que esto sucede es cuando hay una x al cuadrado en el numerador de una fracción y una x en el denominador. Para este ejemplo, la siguiente figura muestra una asíntota inclinada de la recta y = x – 3. Esta gráfica también tiene una asíntota vertical.

Resumen de la lección

Una asíntota es una línea a la que se acerca una gráfica pero nunca la toca. Esa línea puede ser vertical, horizontal o incluso inclinada, y los gráficos pueden tener múltiples tipos de asíntotas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador