Cálculo de derivadas de funciones de valor absoluto
Valerie está caminando por la región montañosa detrás del centro comercial. Su mapa muestra que el café más cercano está a dos millas al norte o menos tres millas al sur. Ignorando los signos más y menos, Valerie considera solo valores absolutos.
Las funciones de valor absoluto son comunes en matemáticas. En esta lección, mostraremos cómo diferenciar estas funciones de valor absoluto, pero primero discutiremos la función signum. Esto le da a Val más tiempo para planificar una ruta.
La función Signum
Imagine Val tiene una bolsa de senderismo especial. Dentro de esta bolsa hay números, como 3, -4, 6 y -17. Por casualidad, sacamos algunos números enteros, pero la bolsa también contiene fracciones y números decimales. Todos los números tienen dos partes: un signo y un valor. Estos cuatro números son en realidad +3, -4, +6 y -17. Hay una señal y un valor. Podríamos escribir +3 como:
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y -17 como:
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Las líneas verticales significan «tomar el valor absoluto del número incluido». Por ejemplo, | +3 | es 3 y | -17 | es 17. sgn () es la función signum . Si el número es positivo, sgn es positivo. Si el número es negativo, sgn es negativo. Si el número es 0, sgn es 0. Para la variable x , sgn ( x ):
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En lugar de un número específico como +3, piense en la variable x . Comparando con +3 = sgn (+3) | +3 |, escribimos x = sgn ( x ) | x |. Resolver x = sgn ( x ) | x | para sgn ( x ) dividiendo ambos lados de la ecuación por | x |. Esto da una definición alternativa para sgn ( x ):
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Nota: Para evitar dividir por cero, esta definición alternativa de signum es buena para todos los valores de x excepto x = 0.
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La función de valor absoluto
Para f ( x ) = | x |, f ( x ) es positivo tanto para x negativo como para positivo . Si x es 0, f ( x ) = 0. Como gráfico:
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¿Ves la pendiente negativa cuando x es negativo? Hay una pendiente positiva cuando x es positivo. En x = 0, el punto de giro brusco significa que la pendiente no está definida. ¡Esto suena como la función signum! De hecho, estamos listos para mostrar que el signo es la derivada de la función de valor absoluto.
La raíz cuadrada de 4 es ± 2. Tenemos dos signos posibles con la raíz cuadrada. Para relacionar la derivada del valor absoluto con el signo, exprese el valor absoluto de x como la raíz cuadrada sin signo de x al cuadrado :
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Val se ha decidido por la cafetería ubicada más dos millas al norte. Dos razones para la elección: primero, en el valor absoluto de las distancias, dos millas es la más corta. En segundo lugar, le gusta el nombre de la tienda: «Derivative Espressos and More».
Derivada de f ( x ) = | x |
Vamos a mostrar cómo f ‘( x ) = sgn ( x ) para f ( x ) = | x |.
Empiece por escribir | x | como la raíz cuadrada sin signo de x 2 :
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La raíz cuadrada de x 2 se reemplaza por ( x 2 ) 1/2 . Ahora, diferencie usando la regla del poder y la regla de la cadena.
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- Regla de la potencia: el 1/2 va al frente y el exponente se reduce en 1, lo que da 1/2 – 1, que es igual a -1/2.
- Regla de la cadena: diferencia la cantidad entre paréntesis, x 2 , para obtener 2 x .
El 2 y el 1/2 se cancelan. Además, una cantidad en el numerador puede transferirse al denominador cambiando el signo del exponente. El ( x 2 ) -1/2 se convierte en 1 sobre ( x 2 ) 1/2 , que es 1 sobre la raíz cuadrada de x 2 :
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En la última línea, la raíz cuadrada sin signo de x 2 en el denominador ha sido reemplazada por | x |. ¿Reconoces la x sobre el valor absoluto de x ? Es nuestra definición alternativa de signum. Dándonos un resultado genial:
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Encuentre la derivada de f ( x ) = | 2 x 3 – 3 |
La derivada de una función de valor absoluto será la derivada del argumento multiplicada por el signo del argumento. El argumento es 2 x 3 – 3, cuya derivada es 6 x 2 . Así,
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Encontramos a Valerie disfrutando de su café en Derivative Espressos mientras dibuja felizmente gráficos de funciones de valor absoluto y sus derivadas. En realidad, no puede evitar preguntarse cuál será su próxima gran aventura de aprendizaje de matemáticas.
Resumen de la lección
El símbolo | x | significa tomar el valor absoluto de la variable x . Además de un valor absoluto, un número también tiene un signo. La función signum , escrita como sgn (), se encarga del signo del número. Expresar el valor absoluto de x como la raíz cuadrada sin signo de x al cuadrado conduce al resultado:
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Los resultados del aprendizaje
Aplique el conocimiento adquirido durante el proceso de estudio de esta lección para:
- Reconocer el símbolo | x |
- Escribe los distintos signos de un número.
- Identificar e ilustrar el uso de la función signum.
- Usa la regla del poder y la regla de la cadena
- Calcular derivadas de valor absoluto
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