Cálculo de derivadas de funciones logarítmicas
¿Alguna vez miraste el espaciado de los trastes en un ukelele? Los trastes son las pequeñas barras de metal debajo de las cuerdas. Desde las clavijas de afinación hasta la boca de sonido, el espaciado de los trastes disminuye progresivamente. Esto sucede en todos los instrumentos con trastes como banjos, guitarras y mandolinas. ¿Por qué cambia el espaciado de los trastes?
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En esta lección calculamos derivadas de logaritmos. Esto ayudará a explicar el espaciado de los trastes en los instrumentos de cuerda.
La derivada del logaritmo natural
Comenzando con la derivada del logaritmo natural:
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Mirar:
- d / d x , la derivada con respecto ax
- ln ( x ), el logaritmo natural de x (pronunciado como ‘lon’ o ‘l’ ‘n’)
- 1 / x , el resultado
La derivada es la pendiente de una recta tangente. ¿Puedes identificar la línea con la mayor pendiente?
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La línea azul tiene la mayor pendiente. La pendiente de la línea azul es 1. Las pendientes de las otras dos líneas son ½ y ¼. ¿Cual es cual? RESPUESTAS: la pendiente de la línea roja es ½ y la pendiente de la línea verde es ¼.
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La recta tangente a la curva de ln ( x ) en x = 4 tiene una pendiente de ¼. La derivada de ln ( x ) es 1 / x . ¡Hhmmmm! Colocando la línea roja en su tangente, ¿qué valor de x ? RESPUESTA: la línea roja tiene una pendiente de 1/2; el recíproco de 1/2 es 2; x = 2. ¿Qué tal la línea azul? RESPUESTA: x = recíproco de 1 = 1.
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Nota: ln ( x ) se define solo para x > 0.
Derivada de ln (b x ) = 1 / x
¿Qué pasa con la derivada de ln (b x ) donde ‘b’ es una constante? Hay al menos dos formas de explicar la derivada de ln (b x ) = 1 / x . El logaritmo de un producto XY es igual al logaritmo X más el logaritmo Y: ln (b x ) = ln (b) + ln ( x ). La derivada de ln (b x ) es la derivada de ln (b) más la derivada de ln ( x ). La derivada de ln (b) es igual a 0 porque ln (b) es una constante. Dejando la derivada de ln ( x ), que es 1 / x .
Otra forma de mostrar la derivada de ln (b x ) = 1 / x usa la regla de la cadena. La derivada de ln (b x ) = 1 / (b x ) multiplicada por la derivada de b x . La derivada de b x es b. Entonces, la derivada de ln (b x ) es b dividida por b x que es 1 / x como se esperaba.
La derivada de logaritmos con otras bases
Acorte la cuerda de un ukelele a la mitad y el tono se duplica. La base de logaritmos para los cálculos de ukelele es la base 2.
En general, la derivada del logaritmo x con base ‘a’ viene dada por:
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Dar sentido a esta fórmula comienza con la discusión de las bases . El logaritmo natural tiene una base de 2.7182… que es el número ‘e’. A veces escribimos ln ( x ) como log e ( x ).
¿Otras bases? Escribir log 10 ( x ) es el logaritmo con base 10. Veamos, 100 es 10 ^ 2. Por tanto, log 10 (100) es 2.
Las calculadoras suelen tener botones ‘log’ e ‘ln’ para base 10 y base e. ¿Qué pasa con otras bases? Para alguna base ‘a’:
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Usando una calculadora, ln (100) es 4.60517 y ln (10) = 2.30259. Sabemos que la base logarítmica 10 de 100 es 2. Calcule la base logarítmica 10 de 100 usando logaritmos naturales.
Log 10 (100) es igual a ln (100) / ln (10). Comprobando: ln (100) / ln (10) = 4.60517 / 2.30259 = 2. ¡Genial!
¿Qué pasa si diferenciamos ambos lados de log a ( x ) = ln ( x ) / ln (a)?
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En el lado derecho, 1 / ln (a) es una constante independiente de x y se puede mover delante de la derivada:
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Pero la derivada de ln ( x ) es 1 / x :
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Escribiendo x seguido de ln (a):
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Espaciado de trastes en ukeleles
Acorte la longitud, L, de una cuerda en vibración y la frecuencia, f, aumenta. Acorte la longitud de una cuerda en 1/2 y la frecuencia aumentará en 2/1. ¿Ves la relación inversa? Físicamente, la frecuencia f es proporcional a 1 sobre la longitud L. En el duodécimo traste, la cuerda tiene la mitad de longitud y la frecuencia se ha duplicado. Hay 12 posiciones de trastes en esta duplicación de frecuencia. Matemáticamente, la frecuencia es proporcional a 2 ^ (n / 12) donde ‘n’ es el número de traste. ¿Ves cómo n = 12 da un factor de 2?
Las dos expresiones proporcionales af son proporcionales entre sí. Decir 2 ^ (n / 12) es proporcional a 1 sobre L significa:
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Donde ‘c’ es una constante de proporcionalidad. ¡Ahora empieza la diversión! Tomando la base de troncos 2 de ambos lados:
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Recordando que log 10 10 ^ 2 es 2, tenemos log 2 2 ^ (n / 12) es n / 12. Y usando la propiedad de logaritmo log (X / Y) = -log (Y / X):
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Multiplicando ambos lados por 12:
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¿Cómo cambia ‘n’ con un cambio en ‘L’? Este Δn / ΔL es aproximadamente la derivada de ‘n’ con respecto a ‘L’.
¿Recuerdas cómo diferenciar el logaritmo de ‘b’ por x ? El resultado es solo 1 / x . En este caso tenemos un ‘1 / c’ como la constante ‘b’ y L es la x . La derivada es 1 / L. ¿Recuerda que la derivada del logaritmo de x con base ‘a’ es 1 / ( x ln (a))? Con base ‘a’ = 2:
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Esta aproximación a Δn / ΔL se puede invertir:
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Para 3 cifras significativas, ln (2) / 12 es .058. Además, para trastes adyacentes, Δn es 1. Nuestra ecuación ahora es ΔL = -.058L.
El signo menos significa que los números de traste crecientes dan una longitud de cuerda decreciente. Algunas conclusiones:
• la distancia entre trastes ΔL es proporcional a L
• a medida que L disminuye, el espaciado entre trastes ΔL disminuye
Es hora de algunas medidas. La longitud L de la cuerda vibrante en el traste n = 1 es 35,3 cm +/- 0,05 cm. En el traste n = 2, L es 33,3 cm +/- 0,05 cm. Así, ΔL = 2 cm +/- .1 cm y la media L es 34.3 cm +/- .05 cm. Calculando (L / media L) da -.06 +/- .003. Resumiendo las medidas y cálculos en los trastes 1 – 2, 5 – 6 y 11-12:
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Entre los trastes 1 y 2, el -.06 +/- .003 significa -.057 <ΔL / L <-.063. Esto concuerda muy bien con la predicción ΔL / L = – ln (2) / 12 = -.058. También existe una excelente concordancia entre la teoría y las mediciones en los otros dos espaciamientos de trastes.
Resumen de la lección
El logaritmo natural ln es un logaritmo de base e. La derivada es la pendiente de una tangente. En esta lección, explicamos por qué:
- derivada de ln x = 1 / x para x > 0
- derivada de ln (b x ) = 1 / x donde ‘b’ es una constante
- derivada del logaritmo de x con base ‘a’ = 1 / ( x ln a)
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