Cardioide en matemáticas: definición, ecuación y ejemplos

Cardioide

Suponga que acaba de sentarse a tomar una manzana como merienda. Mientras corta la manzana por la mitad, tómese un momento para observar la forma resultante de la sección transversal de la manzana como la que aparece aquí en esta imagen:

Sección transversal de una manzana cortada por la mitad

Probablemente nunca pensaste mucho en la forma de una manzana cortada por la mitad, pero en matemáticas, esta forma tiene un nombre especial: cardioide.

Los cardioides son formas fascinantes que se estudian en matemáticas de nivel superior. Una forma de recordar el nombre de esta forma es notar que se parece a la forma de un corazón. La palabra «cardioide» es similar a la palabra «cardíaco», que significa relacionado con el corazón.

Técnicamente hablando, se puede crear una forma cardioide siguiendo la trayectoria de un punto en un círculo mientras el círculo rueda alrededor de otro círculo fijo, teniendo ambos círculos el mismo radio.

Creando un cardioide

¡Exploremos un poco más estas elegantes formas!

Ecuación de un cardioide

Cuando se trata de ecuaciones de cardioides, la forma polar se usa generalmente para simplificar. La forma polar de una ecuación consiste en coordenadas polares en lugar de rectangulares (es decir x y Y ) coordenadas.

Las coordenadas polares son puntos ( r , θ) que se trazan en un sistema de coordenadas polares en el que r es la longitud del segmento de línea que conecta el punto con el origen y θ es el ángulo que se crea, en sentido antihorario, entre el eje polar y el eje polar. segmento de línea desde el punto hasta el origen.

Coordenadas polares

Por lo tanto, la forma polar de una ecuación tiene variables r y θ, y se satisface con los puntos ( r , θ) que hacen que la ecuación sea verdadera.

Bien, ahora que la explicación está fuera del camino, echemos un vistazo a la ecuación de un cardioide en forma polar. Hay dos posibilidades: un cardioide horizontal y un cardioide vertical. Si el radio del círculo que crea el cardioide es a , entonces tenemos lo siguiente:

• La ecuación de un cardioide horizontal es r = a ± a cosθ.
• La ecuación de un cardioide vertical es r = a ± a sinθ.

Cardioides horizontales y verticales

Echemos un vistazo a un ejemplo de cada uno de estos tipos de cardioides, sus ecuaciones y sus gráficos.

Ejemplos de cardioides

Considere las siguientes dos ecuaciones en forma polar:

• r = 2 + 2cosθ
• r = 3 + 3sinθ

Primero, veamos qué tipo de información podemos obtener de las ecuaciones sin mirar sus gráficos.

Observe aquí que ambas ecuaciones tienen la forma de una ecuación cardioide, por lo que conocemos las formas generales de sus gráficas. Ahora, una de estas ecuaciones representa un cardioide horizontal y la otra representa un cardioide vertical. ¿Puedes decir cuál es cuál?

Hmmm… bueno, r = 2 + 2cosθ es de la forma r = a ± a cosθ, donde a = 2, y esa es la ecuación de un cardioide horizontal. De manera similar, r = 3 + 3sinθ tiene la forma r = a ± a sinθ, donde a = 3, y esa es la ecuación de un cardioide vertical. Echemos un vistazo a cada uno de sus gráficos solo para verificar que este es el caso.

Gráficos de cardioides

¡Bastante seguro! Tenemos eso:

• r = 2 + 2cosθ es un cardioide horizontal.
• r = 3 + 3sinθ es un cardioide vertical.

Por último, podemos determinar los radios de los círculos involucrados en la creación de estos cardioides a partir de sus ecuaciones. Sabemos que en las ecuaciones r = a ± a cosθ y r = a ± a sinθ, a es el radio de los círculos que crean los cardioides. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

• En r = 2 + 2cosθ, el radio de los círculos es a = 2.
• En r = 3 + 3cosθ, el radio de los círculos es a = 3.

Esto nos dice que si trazamos la trayectoria de un punto que está en un círculo con un radio de 2 mientras el círculo rueda alrededor de otro círculo fijo con un radio de 2, entonces terminaremos con el cardioide en la gráfica de r = 2 + 2cosθ . De la misma manera, si trazamos la trayectoria de un punto que está en un círculo con un radio de 3 mientras el círculo rueda alrededor de otro círculo fijo con un radio de 3, entonces terminaremos con el cardioide en la gráfica de r = 3 + 3cosθ. ¡Guauu! ¡Toda esa información, solo de las ecuaciones!

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Un cardioide es una forma matemática que se asemeja a un corazón o la sección transversal de una manzana cortada por la mitad. Se puede crear una forma cardioide siguiendo la ruta de un punto en un círculo mientras el círculo rueda alrededor de otro círculo fijo, con ambos círculos con el mismo radio.

Las ecuaciones de los cardioides se dan más fácilmente en forma polar de la siguiente manera:

• r = a ± cosθ es un cardioide horizontal.
• r = a ± sinθ es un cardioide vertical.

Aquí es donde a es el radio de los círculos que crean el cardioide.

Aunque el estudio de los cardioides es un tema bastante avanzado en matemáticas, ahora estamos familiarizados con los conceptos básicos de esta fascinante forma. ¡Es posible que nunca vuelva a ver una manzana de la misma manera!

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