Expresiones Matemáticas
Digamos que le dan diez palabras y le piden que forme una oración completa sobre cómo se siente usando algunas o todas esas palabras. Tal vez formaste la expresión, ‘¡Estoy feliz de que sea un nuevo día!’
Ahora, ¿qué pasa si te dan algunos números y letras aleatorios y te piden que escribas una expresión en forma matemática? Combinaría esos números y letras junto con operaciones aritméticas y los encadenaría para escribir una expresión matemática como 5 a b – 2 c + 4 = 0.
Polinomios
Podemos expresar una relación matemática con uno o varios términos. Cuando la expresión tiene un solo término, se llama monomio; cuando tiene dos términos, se llama binomio. Una expresión de trinomio es una combinación de tres términos. Estos términos pueden estar compuestos por una combinación de números y variables y explicar las relaciones entre ellos.
Una expresión compuesta por dos o más términos que tienen variables se llama polinomio . Digamos que P ( x ) es una función polinomial. Si dejamos P ( x ) = 0 y resolvemos los valores de x , ¡obtenemos los ceros del polinomio!
Ceros de un polinomio
Analicemos el proceso de encontrar ceros de un polinomio en los pasos básicos.
Tarea de Álgebra I – Simplificar y resolver ecuaciones usando exponentes y polinomios
Paso 1): Escribe una expresión basada en lo que se da.
Paso 2): Iguala el polinomio a cero.
Paso 3): Resuelva para la (s) variable (s) usando factorización polinomial.
El grado del polinomio nos dice el número máximo de ceros distintos que tendrá. Por ejemplo, x 2 – 4 tiene un grado de 2 y, por lo tanto, dos ceros distintos.
Encontrar ceros
¿Qué pasa si nos dan la expresión x 2 + 5 x + 4? Observe que tiene tres términos, lo que lo convierte en un trinomio. ¿Podemos resolver x ? Seguro que podemos, encontrando los ceros del polinomio. Dado que este polinomio tiene un grado de 2, esperamos dos ceros distintos.
Encontrar ceros de funciones y polinomios en una calculadora gráfica
Paso 1): Escribe una expresión basada en lo que se da: x 2 + 5 x + 4.
Paso 2): Iguala el polinomio a cero: x 2 + 5 x + 4 = 0.
Paso 3): Resuelva para la (s) variable (s) usando factorización polinomial:
- x 2 + 5 x + 4 = 0
- ( x + 1) ( x + 4) = 0
- ( x + 1) = 0 y ( x + 4) = 0
- x = -1 y x = -4
Como predijimos anteriormente, obtenemos dos ceros distintos (-1 y -4) para el polinomio.
Multiplicidad de ceros
¿Puedes encontrar los ceros del polinomio P ( x ) = ( x + 3)+ ( x – 1) 2 + ( x – 2)?
Cómo multiplicar números que terminan en ceros
Paso 1): P ( x ) = ( x + 3) 4 + ( x – 1) 2 + ( x – 2).
Paso 2): P ( x ) = ( x + 3) 4 + ( x – 1) 2 + ( x – 2) = 0.
Paso 3): ( x + 3) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 3) + ( x – 1) ( x – 1) + ( x – 2) = 0.
- ( x + 3) = 0; ( x – 1) = 0; ( x – 2) = 0
- x = – 3, 1, 2
Observe que P ( x ) tiene el cero ‘-3’ cuatro veces, el cero ‘1’ dos veces y el cero ‘2’ una vez. Entonces, podemos decir que las multiplicidades de los ceros para este polinomio son: cuatro para -3, dos para 1 y uno para 2.
Regla de los signos de Descartes
Siempre que resolvemos para ceros reales, es bueno saber de antemano cuántos ceros reales positivos y ceros reales negativos podemos esperar. René Descartes, filósofo y matemático francés, teorizó que para un polinomio P ( x ) con coeficientes reales, el número de ceros reales positivos y negativos se puede encontrar siguiendo ciertas reglas, que llegaron a conocerse como la regla de los signos de Descartes.
Número de ceros reales positivos
Según la Regla de los signos de Descartes , el número de ceros reales positivos dentro de un polinomio P ( x ) es igual al número de cambios de signo o un número par restado de él.
Por ejemplo, el polinomio P ( x ) = x 4 + x 3 – x 2 + x – 2 tiene tres cambios de signo:
- Cambio de signo 1: De positivo a negativo entre el 4º y el 3º términos
- Cambio de signo 2: A partir de negativo a positivo entre el 3 er y 2 nd términos
- Cambio de signo 3: A partir de positiva a negativa entre los 2 nd y 1 st términos
Por lo tanto, podemos esperar 3 o 1 (3 – 2 = 1) ceros reales positivos.
Número de ceros reales negativos
De manera similar, podemos encontrar el número de ceros reales negativos. Según la Regla de los signos de Descartes, el número de ceros reales negativos es igual al número de cambios de signo o un número par restado de él en el polinomio P (- x ).
Regresemos al polinomio P ( x ) = x 4 + x 3 – x 2 + x – 2.
- P (- x ) = (- x ) 4 + (- x ) 3 – (- x ) 2 + (- x ) – 2
- P (- x ) = x 4 – x 3 – x 2 – x – 2
P (- x ) tiene solo un cambio de signo de positivo a negativo entre el 4º y el 3º términos. Entonces, esperamos un cero real negativo para P ( x ).
Resumen de la lección
Un polinomio P ( x ) es una expresión que tiene dos o más términos con variables. Para encontrar los ceros del polinomio, dejamos P ( x ) = 0 y resolvemos los valores de x usando los siguientes pasos.
Paso 1): Escribe una expresión basada en lo que se da.
Paso 2): Iguala el polinomio a cero.
Paso 3): Resuelva para la (s) variable (s) usando factorización polinomial.
Según la Regla de los signos de Descartes , el número de ceros reales positivos dentro de un polinomio P ( x ) es igual al número de cambios de signo o un número par restado de él. De manera similar, el número de ceros reales negativos es igual al número de cambios de signo o un número par restado de él en el polinomio P (- x ).
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