Circumcenter: definición, fórmula y construcción

Publicado el 23 septiembre, 2020

Definición del circuncentro

Comencemos con el siguiente escenario: tres comunidades están ubicadas en los puntos L, M y N como se ve en la Figura. 1. Si el alcalde de la ciudad quiere construir un hospital para que cada comunidad recorra la misma distancia hasta el hospital, ¿dónde estaría la ubicación exacta del hospital?

Puntos aleatorios

Para encontrar la ubicación exacta del hospital, tendríamos que encontrar el circuncentro . El circuncentro es el punto donde se encuentran todas las bisectrices perpendiculares de un triángulo.

Las bisectrices perpendiculares son segmentos de líneas, o líneas, que bisecan otra línea para formar ángulos rectos. En otras palabras, las bisectrices perpendiculares cortan otras líneas por la mitad y forman ángulos rectos como lo hacen. También podríamos decir que la bisectriz perpendicular se cruza con otras líneas en sus puntos medios y forma ángulos rectos. Todos significan lo mismo, lo que hay que recordar es que perpendicular significa ángulo recto y bisecar significa cortar en dos partes iguales.

Construcción de una bisectriz perpendicular

Podemos construir una bisectriz plegando, usando una brújula o usando software de geometría. Como se muestra en la Figura 2, construí la bisectriz perpendicular del segmento de línea AB usando el bloc de dibujo del geómetro, pero puede usar una brújula y un lápiz siguiendo estos pasos:

Bisectriz perpendicular

1) Dibuja un segmento de línea AB .

2) Abra su brújula a un poco más de la mitad del segmento de línea.

3) Coloque su brújula en el punto A y gire un arco por encima y por debajo del segmento de línea AB.

4) Coloque su brújula en el punto B y gire un arco por encima y por debajo del segmento de línea.

5) Donde los dos arcos se encuentran forma la línea para su bisectriz perpendicular.

6) Dibuja tu bisectriz perpendicular PQ y rotula tu ángulo recto.

Construyendo el Circuncentro

Volvamos a nuestro escenario original. Conectemos los puntos L, M y N para formar un triángulo y vamos a dibujar la bisectriz perpendicular para cada lado tal como hicimos para el segmento de línea AB . Si observa la Figura 3, verá que construí todas mis bisectrices perpendiculares. Tenga en cuenta que las tres mediatrices se reúnen en el punto O . Por lo tanto, este punto es nuestro circuncentro y sería la ubicación del hospital. Por lo tanto, una vez que construya la bisectriz perpendicular de los tres lados del triángulo, el circuncentro automáticamente se volverá obvio.

Bisectrices perpendiculares de un triángulo

Entonces, ¿cómo sabemos que este punto O está a la misma distancia de los puntos L, M y N ? Bueno, eche un vistazo a la Figura 4, es el mismo triángulo, pero hay dos diferencias importantes:

1) El circuncentro es también el centro de un círculo. Este círculo va alrededor del triángulo y el aviso que toca los tres vértices del triángulo, los puntos L, M y N . Esta es parte de la razón por la que el punto se llama circuncentro, “circunferencia” significa alrededor, como circunferencia.

2) Los segmentos de línea OL, OM y ON representados por las líneas naranjas punteadas son todos radios del mismo círculo. Recuerde que el radio de un círculo se extiende desde el centro del círculo hasta cualquier punto de la circunferencia. Por lo tanto, la gente viajará la misma distancia.

Tipos de triángulos y su circuncentro

Quizás alguien se esté preguntando si el circuncentro variaría según el tipo de triángulo. Bueno, sí lo haría. El circuncentro cambia de ubicación según el tipo de triángulo.

Para un derecho triángulo: el circuncentro está en la hipotenusa (el lado más largo del triángulo) como en la Figura 4.

Circuncentro del triángulo rectángulo

Para un triángulo agudo : el circuncentro es un punto dentro del triángulo, vea la Figura 5.

Circuncentro del triángulo agudo

Para el triángulo obtuso : el circuncentro está fuera del triángulo, vea la Figura 6.

Circuncentro del triángulo obtuso

Resumen de la lección

Ahora, resumamos lo que hemos discutido hasta ahora.

  • La bisectriz perpendicular es la línea o segmento de línea que corta una línea por la mitad y forma ángulos rectos como lo hacen.
  • El circuncentro es el punto donde se encuentran las tres bisectrices perpendiculares de un triángulo.
  • El circuncentro es también el centro de un círculo que rodea el triángulo y toca los tres vértices del triángulo, lo que indica que los tres vértices están a la misma distancia del circuncentro.
  • La ubicación del circuncentro depende del tipo de triángulo:

Triángulo agudo: Circumcenter está ubicado adentro, al igual que usted está dentro de su casa.

Triángulo rectángulo: Circumcenter está ubicado en la hipotenusa, al igual que usted está parado en la puerta de su casa.

Triángulo obtuso: el circuncentro está ubicado fuera del triángulo, al igual que usted está afuera en el patio.

Adelante, practica un poco de construcción y diviértete con ello.

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