Coeficientes
En álgebra, una de las primeras cosas que aprendes a hacer es leer ecuaciones algebraicas. Una ecuación algebraica consta de varios términos sumados y / o restados. Cada uno de estos términos tiene dos partes: variables y coeficientes.
En estadística, se nos presenta un nuevo tipo de coeficiente conocido como coeficiente multinomial. En esta lección, aprenderá qué es un coeficiente multinomial y cómo se usa en estadística.
Coeficiente multinomial
El coeficiente multinomial debe su nombre a la serie multinomiales elevado a la n ésima potencia, como se ve que aparece aquí:
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Primera ley de difusión de Fick: ecuación y ejemplo
En una serie como esta, las x representan términos, la k representa el número de elementos de la serie y n es la potencia entera positiva a la que se eleva la serie. El teorema multinomial nos dice cómo se expande una serie como esta.
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En el teorema multinomial , la suma se toma sobre n 1 , n 2 ,. . . n k tal que n 1 + n 2 +. . . + n k = n .
El teorema multinomial nos da una suma de coeficientes multinomiales multiplicados por variables. En otras palabras, representa una serie expandida donde cada término tiene su propio coeficiente multinomial asociado. El coeficiente multinomial en sí se expresa en términos de factoriales, que puede ver aquí:
Balance General: Preparación, ecuación y ejemplo
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Coeficiente multinomial: ejemplo 1
Para comprender mejor cómo funciona el coeficiente multinomial, trabajemos juntos en un ejemplo en el que encontramos el coeficiente multinomial de un término de una serie multinomial expandida.
Dada la siguiente serie multinomial:
Ejemplo de trabajo de investigación para composición universitaria II
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¿Cuál es el coeficiente de la de un 3 c 2 plazo de las series ampliadas?
Para resolver este problema trabajaremos con el teorema multinomial.
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Comenzando por comparar la serie en este problema con el lado izquierdo de la ecuación del teorema multinomial, podemos ver que x 1 = a , x 2 = 2 b , x 3 = 3 c , y n = 5.
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Aquí, k = 3 ya que hay tres elementos (es decir , a , b , c ) en la serie. Esta es la fórmula para la expansión completa de nuestra serie, pero solo buscamos el coeficiente de un término de la serie. Para hacer esto, veremos el lado derecho de la ecuación sin la suma e identificaremos n 1 , n 2 y n 3 .
Estos valores de n están dados por las potencias en nuestro término dado a 3 c 2 . La a se eleva a la tercera potencia, lo que nos da n 1 = 3, y c se eleva a la segunda potencia, lo que nos da n 3 = 2.
Vemos que b está ausente en este término. Este es el equivalente de b x = 1, que ocurre cuando x = 0. Por lo tanto, n 2 = 0.
Con todos los valores de n encontrados, ahora tenemos todo lo que necesitamos para encontrar el coeficiente de a 3 c 2 .
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Primero, escribimos el coeficiente multinomial como factoriales.
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Luego, todo lo que queda por hacer es resolver la aritmética básica.
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Con esto hemos encontrado que el coeficiente de a 3 c 2 es 90.
Un coeficiente en estadística
Ahora que entendemos mejor los coeficientes multinomiales, examinemos cómo nos ayudan en estadística. El uso de coeficientes multinomiales en estadística tiene que ver con subconjuntos disjuntos. Los subconjuntos disjuntos son subconjuntos de un conjunto más grande de elementos donde ninguno de los subconjuntos contiene elementos comunes entre ellos. Este diagrama que aparece aquí muestra dos posibles grupos de subconjuntos del conjunto que contiene los elementos A , B y C :
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El grupo de subconjuntos de la izquierda no está disjunto porque comparten B entre ellos. El grupo correcto es inconexo porque no comparten elementos comunes.
Específicamente, usamos coeficientes multinomiales para encontrar el número de formas ( N ) en las que n elementos se pueden dividir en k subconjuntos disjuntos donde el orden de los elementos en los subconjuntos no importa.
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En este caso, n 1 , n 2 ,. . . n k representa cuántos elementos puede contener cada subconjunto.
Coeficiente multinomial: ejemplo 2
Para ver este método para usar el coeficiente multinomial en acción, trabajemos una vez más en un problema de ejemplo juntos.
Una clase de 12 estudiantes debe dividirse en tres grupos para trabajar en proyectos de diferentes tamaños. El grupo que trabaja en el proyecto grande tendrá cinco estudiantes, el grupo que trabaja en el proyecto mediano tendrá cuatro estudiantes y el grupo que trabaja en el proyecto pequeño tendrá tres estudiantes. ¿Cuántas formas de dividir a los 12 estudiantes en estos tres grupos hay?
En este ejemplo tenemos n = 12 estudiantes, divididos en k = 3 grupos. Luego tenemos grupos de tamaños n 1 = 5, n 2 = 4 y n 3 = 3. Usando la fórmula para coeficientes multinomiales con k = 3 podemos encontrar el número de formas (nuevamente, N ) en que esta clase se puede dividir tres grupos.
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Resumen de la lección
Muy bien, ahora tomemos un momento para revisar lo que hemos aprendido. El coeficiente multinomial proviene de la expansión de la serie multinomial. ¿Cómo se amplía esta serie está dada por el teorema multinomial , donde la suma se toma sobre n 1 , n 2 ,. . . n k tal que n 1 + n 2 +. . . + n k = n .
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El coeficiente multinomial en sí de este teorema se escribe en términos de factoriales.
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En estadística, existe una aplicación del coeficiente multinomial que implica trabajar con subconjuntos disjuntos , que son subconjuntos de un conjunto mayor que no contienen elementos comunes entre ellos. El coeficiente multinomial se usa para decirnos el número de formas ( N ) en las que n elementos se pueden dividir en k subconjuntos disjuntos cuando el orden de los elementos en ellos no importa.
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