Cómo antidiferenciar funciones logarítmicas

Ejemplo de apertura

En esta lección, trabajaremos con integrales que tienen una función logarítmica que aparece en algún lugar del integrando. Por ejemplo, considere la integral:

Podemos evaluar esta integral usando Integración por partes . Hacemos una pausa aquí para recordarle al lector este método.

Fórmula de integración por piezas

Supongamos que u y v son funciones diferenciables. Entonces,

Entonces, para evaluar esta integral, podemos dejar v (x) = ln (x) y u (x) = x . De esta manera, el integrando v’u se convierte en la constante 1, ya que v ‘(x) = 1 / x . El resultado es entonces

La integración por partes también se puede utilizar para tratar integrales de las siguientes cuatro formas.

En las secciones siguientes, aprenderemos cómo evaluar cada uno de estos tipos de integrales.

Integrales de la forma (1)

La forma (1) es

y la potencia en x es cualquier número real. Por razones que serán evidentes, manejaremos el caso de la potencia en la x igual a -1 por separado de su caso contrario.

En este caso, la integral se convierte en:

Podemos evaluar esta integral usando Integración por partes o mediante una sustitución en u . En aras de demostrar que no importa qué método elijamos, mostraremos ambos métodos.

Para configurar la integración por partes, sea u ‘(x) = 1 / x , y v (x) = ln (x) . Aquí dejamos que la función v sea ​​la función logarítmica porque en la última integral, se convertirá en 1 / x al tomar su derivada. Al hacer esto, llegamos a:

Observe que la integral que estamos tratando de encontrar aparece en ambos lados de la ecuación. Sumando esa integral a ambos lados de la ecuación y luego despejando la integral, obtenemos:

Para usar la sustitución de u , sea u (x) = ln (x) . Entonces,

Pasamos ahora al segundo caso.

Una vez más, dado que la derivada de ln (x) se convierte en 1 / x cuando se diferencia, hacemos que esa función sea la que se debe diferenciar. La otra función la podemos integrar usando la regla de potencia para la integración.

Realizando la Integración por Partes de esta forma, obtenemos:

Integrales de la forma (2)

La forma (2) es:

donde n es un número entero no negativo.

Recuerde nuestro ejemplo anterior,

Así que ahora considere el caso de n = 2. La integral es entonces:

Dado que el integrando es un producto de dos funciones, se aplica la integración por partes y podemos dejar:

Usando la anti-derivada ahora conocida de ln (x) , Integración por partes muestra que:

Al usar nuevamente la fórmula anti-derivada para ln (x) para evaluar la segunda integral, llegamos a:

Luego, simplificando el lado derecho de la última ecuación, obtenemos:

Luego, usando la fórmula que acabamos de derivar para el caso de n = 2, podemos evaluar la integral:

El integrando es nuevamente un producto de dos funciones. Dejar:

Entonces, la integración por partes da como resultado:

La última integral es una combinación lineal de integrales que ya hemos manejado. Usando las fórmulas para la integral de la primera y segunda potencia del logaritmo natural y luego sustituyéndolas en la última ecuación, podemos llegar a la integral de la tercera potencia del logaritmo natural. Después de realizar la integración restante y luego simplificar algebraicamente, obtenemos la anti-derivada para la tercera potencia del logaritmo natural.

Generalmente, cuando tenemos la forma (2), podemos descomponer el logaritmo natural en un producto de n – 1 logaritmos y un producto de un logaritmo. Entonces sea v (x) = ln (x) y u ‘(x) el producto de los otros n – 1 registros y proceda a evaluar de acuerdo con la fórmula de Integración por Partes. Invitamos al lector a derivar una expresión general válida para todos los números enteros no negativos n en uno de los ejercicios.

Integrales de la forma (3)

Una tercera forma que mostramos es:

Note que realmente ya nos hemos ocupado del caso de a = 0. Para cuando a = 0, la integral se reduce a:

Además, cuando a es distinto de cero, la estrategia es la misma que cuando a = 0. Dejamos que la función logarítmica sea la que se diferenciará más tarde, y la otra función en la integral sea una. Es decir, dejamos:

La integración por partes da entonces:

Para evaluar la última integral, podemos sumar y restar un término de la siguiente manera:

Ahora, mediante una sustitución en U y la fórmula familiar:

vemos eso:

Entonces, por sustitución,

Integrales de la forma (4)

A continuación, considere la integral:

Dado que esta función es irreconocible, y no vemos su derivada por ella, debemos realizar la Integración por Partes con:

Realizando así la Integración por Partes, obtenemos:

Ahora, al usar nuevamente Integración por partes, podemos evaluar la integral en el lado derecho de esta última igualdad. Similar a la integral original, dejamos que v (x) = cos (ln (x)) y u ‘(x) = 1. Esto da:

Sustituyendo esta ecuación por la anterior, encontramos que:

Finalmente, resolviendo esta ecuación para la integral de interés, llegamos a nuestra respuesta:

Resumen

En cada uno de los cuatro tipos de integrales que hemos demostrado, resumimos las opciones sugeridas para u ‘ yv cuando se realiza la integración por partes.

Formulario 1):

Forma (2):

Forma (3)

Forma (4)

En cada caso, nuestras elecciones para u ‘ yv explotan la naturaleza derivada de ln (x) . En la forma (1), la derivada de ln (x) hace que la segunda integral tenga una potencia de x como integrando. La forma (2) tiene una naturaleza inductiva. Cada anti-derivada subsiguiente (en una potencia de ln (x) ) tiene un factor de x . Entonces, con la adición de otro ln (x) , esto cancela la x factorizada en la diferenciación. La forma (3) conduce a la integral de una función trigonométrica inversa. La forma (4) tiene la ventaja de un ln (x) dentro de la función trigonométrica. Cuando la xaparece en la primera integración, el ln (x) luego cancela esto para configurar la segunda integral.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador