Cómo encontrar el cociente de diferencia con fracciones

Publicado el 24 noviembre, 2020

Pasos para resolver

El cociente de diferencias para una función f ( x ) viene dado por la fórmula

[ f ( x + h ) – f ( x )] / h

Este cociente de diferencias calcula la pendiente de la recta secante a través de los puntos ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x + h )), y se utiliza mucho cuando se trata de derivadas en cálculo.

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Encontrar el cociente de diferencias para una función f ( x ) es simplemente una cuestión de encontrar f ( x + h ) y reemplazar tanto f ( x ) como f ( x + h ) en la fórmula del cociente de diferencias, luego simplificar.

Todo esto puede ser una vieja noticia para ti; sin embargo, es posible que no esté familiarizado con cómo encontrar el cociente de diferencias de una función que tiene fracciones. Afortunadamente, aparte de la parte de simplificación, el proceso de encontrar el cociente de diferencias para funciones con fracciones realmente no es muy diferente de lo que es para funciones sin fracciones.

De hecho, el primer paso para encontrar el cociente de diferencias para una función con fracciones es exactamente el mismo que para funciones sin fracciones. Encontramos f ( x + h ) y reemplazamos tanto f ( x ) como f ( x + h ) en la fórmula para el cociente de diferencias. Una vez que hagamos esto, las cosas se verán un poco diferentes y parecerán un poco más complicadas.

Verá, su cociente de diferencias, que es una fracción en sí misma, tendrá fracciones dentro, por lo que tiene fracciones dentro de fracciones. Bueno, eso suena confuso. ¡Pero no te preocupes! Existe un buen truco para eliminar estas fracciones dentro del cociente de diferencias, lo que facilita mucho la simplificación. Todo lo que tenemos que hacer es encontrar el denominador común de las fracciones dentro del cociente de diferencias y luego multiplicar tanto el numerador como el denominador por ese denominador común.

Está bien hacerlo, porque es lo mismo que multiplicar por 1. Por lo tanto, no cambiaremos ningún valor ni nada, y lo bueno es que al hacerlo se eliminarán las fracciones dentro del cociente de diferencias, por lo que podemos simplificar a medida normalmente lo haría.

Esto puede parecer un poco exagerado. No sé ustedes, pero la comprensión siempre es más fácil para mí cuando tengo un proceso bien desarrollado y puedo ver ese proceso utilizado en un ejemplo real, así que resumamos estos pasos en una lista organizada agradable, y luego Veremos un ejemplo para ayudar a solidificar nuestra comprensión de cómo realizar cada uno de los pasos.

Solución

Para encontrar el cociente de diferencias para una función, f ( x ), que contiene fracciones, usamos los siguientes pasos:

  1. Encuentre f ( x + h ) y sustituya f ( x ) y f ( x + h ) en el cociente de diferencia, [ f ( x + h ) – f ( x )] / h .
  2. Encuentra el denominador común de todas las fracciones dentro del cociente de diferencias y multiplica el numerador y el denominador del cociente de diferencias por ese denominador común. Nota rápida: cuando encuentre el denominador común, manténgalo en forma factorizada y no lo multiplique. Esto facilitará la simplificación.
  3. Simplifique el resultado del paso 2.

Bien, eso está muy bien salido, pero se volverá aún más claro cuando realmente miremos aplicarlo a un ejemplo, así que sigamos adelante y hagamos precisamente eso.

Ejemplo

Considere la función f ( x ) = 5 / ( x – 4). Esta es una función que es una fracción, así que usemos esta función para ilustrar los pasos para encontrar el cociente de diferencias de una función con fracciones.

El primer paso no es diferente a encontrar el cociente de diferencias para cualquier función. Encontramos f ( x + h ) insertando x + h en cualquier lugar donde veamos x en la función.

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Obtenemos que f ( x + h ) = 5 / ( x + h – 4). Ahora simplemente conectamos f ( x ) y f ( x + h ) en la fórmula del cociente de diferencias.

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¡Hasta ahora tan bueno!

¡Ahora viene la parte divertida! Queremos eliminar esas fracciones dentro del cociente de diferencias, por lo que encontramos el denominador común de esas fracciones. Los denominadores de las fracciones dentro del cociente son x + h – 4 y x – 4. La forma más fácil de encontrar un denominador común es simplemente multiplicar los denominadores para obtener

  • ( x + h – 4) ( x – 4)

Como indican nuestros pasos, debemos dejar esto en forma factorizada. Multiplicarlo hará que las cosas sean más confusas cuando multiplicamos el numerador y el denominador por esta expresión. Hablando de eso, ese es el siguiente paso en este proceso, ¡así que hagámoslo!

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¡Ah-ja! ¡No más fracciones, como esperábamos!

Ahora, solo necesitamos simplificar esta expresión.

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¡Terminamos!

Eso no fue tan malo, y vemos que encontrar el cociente de diferencias de funciones con fracciones es realmente solo una cuestión del paso adicional de encontrar el denominador común de las fracciones dentro y multiplicar el numerador y el denominador por ese denominador común para eliminar las fracciones. . Aparte de eso, ¡todo sigue como de costumbre!

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