Cómo identificar triángulos similares

El lenguaje de la similitud

Figuras similares son figuras que tienen la misma forma pero son de diferentes tamaños. Tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales. Los triángulos similares son un tipo de figura similar, y determinar su similitud es mucho más fácil gracias a los teoremas de similitud de triángulos. Estos teoremas, que son Ángulo – Ángulo (AA), Lado – Ángulo – Lado (SAS) y Lado – Lado – Lado (SSS), hacen posible determinar la similitud de triángulos con cálculos mínimos. Antes de continuar, repasemos los términos clave que ayudarán a que estos teoremas tengan sentido.

Cuando las partes de una figura se corresponden , esto significa que están en la misma ubicación en cada figura. Los lados son proporcionales cuando las relaciones entre los lados correspondientes son congruentes. Entonces, si creas razones o fracciones comparando todos los lados correspondientes, cada uno tendrá el mismo valor y se reducirá al mismo número.

Cuando se habla de figuras congruentes o similares, el ángulo incluido es el ángulo formado por los lados congruentes o proporcionales. En el siguiente triángulo, dado que el lado AB es congruente con el lado DE y el lado BC es congruente con el lado EF, entonces los ángulos B y E son los ángulos incluidos.

B y E son ángulos incluidos.

Teoremas de similitud de triángulos

Bueno. Ahora que hemos actualizado el vocabulario, examinemos más a fondo cada uno de los teoremas de similitud.

Comenzaremos con Ángulo – Ángulo (AA). Para que dos triángulos sean similares en Ángulo – Ángulo (AA), dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo. Mira el triángulo JKL a continuación. El ángulo J es de 52 grados y el ángulo K es de 60 grados. Si restamos 52 y 60 de 180 (el número total de grados que deben sumar todos los ángulos en un triángulo), veremos que el ángulo L es 68 grados.

Puedes encontrar un ángulo restando la suma de los otros dos ángulos de 180.

Ahora, observe el triángulo MNO a continuación. Si el ángulo M es congruente con el ángulo J y el ángulo N es congruente con el ángulo K, ¿qué podemos decir sobre los ángulos L y O? Podemos decir que también son congruentes. Con tres pares de ángulos congruentes, los triángulos tienen la misma forma pero diferentes tamaños, lo que significa que sus lados son proporcionales y los triángulos son similares.

Estos dos triángulos son similares.

Para Side-Angle-Side (SAS), un ángulo de un triángulo debe ser congruente con el ángulo correspondiente de otro triángulo, y las longitudes de los lados que incluyen estos ángulos son proporcionales. Con ángulos incluidos congruentes, los lados proporcionales no pueden fluctuar y el tercer lado en ambos triángulos debe tener una longitud específica. Entonces, con dos lados ya proporcionales, las longitudes de los terceros lados también deben ser proporcionales, lo que demuestra la similitud del triángulo.

El último teorema es Lado – Lado – Lado (SSS), lo que significa que los tres conjuntos de lados correspondientes de dos triángulos están en proporción. Si las proporciones de todos los lados correspondientes son iguales, entonces los lados son similares y también lo son los triángulos.

Al determinar qué teorema demuestra similitud, no lo piense demasiado; basta con mirar las letras de cada teorema. Para que los triángulos sean similares por Ángulo – Ángulo (AA), se proporcionarán las medidas de dos ángulos en cada triángulo. Si es similar por Lado – Ángulo – Lado (SAS), entonces tendrá las medidas de dos lados y los ángulos incluidos de ambos triángulos. Para Lado – Lado – Lado (SSS), tendrá las tres longitudes de los lados para ambos triángulos. Vamos a practicar.

¿Son similares?

¿Es el triángulo ABC similar al triángulo DEF?

Triángulos, por ejemplo 1

Examinemos la información dada. Tenemos las longitudes de dos lados en ambos triángulos y las medidas de los ángulos incluidos. Esto suena como Side – Angle – Side (SAS). Pero, antes de concluir la similitud mediante este teorema, debemos verificar los ángulos congruentes y los lados proporcionales.

Tanto el ángulo B como el ángulo E miden 63 grados, por lo que los ángulos incluidos son congruentes. Para configurar las proporciones de los lados, siempre compare los dos lados más pequeños juntos y los dos lados más grandes juntos, yendo en el mismo orden entre triángulos. Para este ejemplo, nuestras relaciones son 3/6 y 5/8. Si convertimos a decimales, 3/6 = .5 y 5/8 = .625. Dado que estas razones no son iguales, el triángulo ABC no es similar al triángulo DEF.

Para nuestro siguiente ejemplo, determine si el triángulo RST es similar al triángulo WXY.

Triángulos, por ejemplo 2

Dado que nos dieron las longitudes de los tres lados en ambos triángulos, Lado – Lado – Lado (SSS) es el único teorema que puede demostrar similitud. Establezcamos nuestras proporciones. Los dos lados más pequeños tienen una proporción de 6/3, los lados más grandes tienen una proporción de 10/5 y los lados restantes tienen una proporción de 8/4. Simplificando, todas las proporciones son dos. Por lo tanto, el triángulo RST es similar al triángulo WXY según el teorema de similitud lado-lado-lado (SSS).

Hagamos uno más. ¿Es el triángulo CRE similar al triángulo PHB?

Triángulos, por ejemplo 3

Según la información proporcionada, estos triángulos solo pueden ser congruentes en Ángulo – Ángulo (AA). Pero, parece que solo un par de ángulos son congruentes. Entonces, puede pensar que los triángulos no son similares. Antes de llegar a una conclusión, calculemos la medida del ángulo E. Restando 180 – 40 – 95, encontramos que el ángulo E mide 45 grados. Con esta información, ahora vemos que el ángulo R y el ángulo H son congruentes, así como el ángulo E y el ángulo B. Por lo tanto, el triángulo CRE es similar al triángulo PHB según el teorema de similitud de ángulo-ángulo (AA).

Resumen de la lección

Los triángulos similares poseen las mismas características que otras figuras similares: ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales. Los teoremas de similitud de triángulos, que son Ángulo – Ángulo (AA), Lado – Ángulo – Lado (SAS) y Lado – Lado – Lado (SSS), sirven como atajos para identificar triángulos similares. Al evaluar la similitud, comience siempre por examinar la información proporcionada, que le ayudará a determinar qué teorema utilizar para determinar si los triángulos son similares o no.

Resultado de aprendizaje

Después de completar esta lección, podrá:

• Definir figuras similares
• Describe las características requeridas para que los triángulos sean similares.
• Explica los tres teoremas de similitud de triángulos.
• Determinar si dos triángulos son similares usando los teoremas de Ángulo – Ángulo, Lado – Ángulo – Lado o Lado – Lado – Lado

Rodrigo Ricardo Editor y fundador