Ejemplo de fondo
Después de años de ahorrar, Samantha finalmente está comprando un auto nuevo. Sin embargo, su principal preocupación es que su coche perderá demasiado valor a largo plazo. Con una depreciación anual del 16,8%, Samantha se pregunta cuántos años tiene el automóvil antes de que su valor caiga por debajo de la mitad del precio minorista. Este es un problema de desigualdad exponencial. Después de explorar las desigualdades exponenciales y logarítmicas, esta lección responde a las preocupaciones de Samantha.
Desigualdades exponenciales
Primero, expongamos algunas definiciones concretas que distinguen las desigualdades exponenciales y logarítmicas. En pocas palabras, las desigualdades exponenciales tienen exponentes, mientras que las desigualdades logarítmicas tienen logaritmos. Ambos usan uno de los cuatro tipos de desigualdades. En palabras: mayor que, mayor que o igual a, menor que y menor que o igual a.
Antes de mostrar un método de solución, resolvamos un problema matemático similar comenzando con la respuesta. ¿Suena interesante? ¿Qué es 2 5 ? Respuesta: 2 (2) (2) (2) (2) = 32. Esa es la respuesta, pero ¿cuál es la pregunta?
La pregunta es: encuentre x entonces 2 x > 32.
Dado que 2 5 es 32, cualquier x mayor que 5 funcionará.
Cómo resolver ecuaciones de dos pasos con fracciones
Ahora para un método de solución:
Paso 1: Reemplaza la desigualdad con un signo igual.
De 2 x > 32 escribir
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Resolver un sistema de ecuaciones sin solución
Paso 2: Con exponentes, usa logaritmos.
Toma el registro:
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Paso 3: resuelve.
Desigualdades polinomiales: definición y ejemplos
Desde la propiedad, log a x = x log a, trae x al frente:
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Dividir por log 2:
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Paso 4: Evaluar.
Usando una calculadora, log 32 = 1.505 y log 2 = 0.301, por lo tanto, x = 1.505 / 0.301 = 5.
Paso 5: determina el dominio.
¿Qué valores de x dan 2 x > 32? Pruebe con un número mayor que 5, como x = 6. Entonces, 2 6 = 64 es mayor que 32. Entonces, números mayores que 5 funcionan. Solo para estar seguro, ¿qué tal un número menor que 5, como x = 4? Bueno, 2 4 = 16 no es mayor que 32.
Por tanto, x > 5 satisface la desigualdad 2 x > 32.
Paso 6: (un paso opcional) Trazar.
En una recta numérica muestra los valores de la solución para x :
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Un círculo muestra el valor perdido en x = 5 y los valores de x se extienden hasta el infinito positivo. El valor 5 no se incluye porque la desigualdad original era estrictamente «mayor que» y no «mayor o igual que».
Desigualdades logarítmicas
Los logaritmos y exponenciales son operaciones inversas . En otras palabras, una operación deshace la otra. Por ejemplo, 10 2 = 100 y log 100 = 2. Además, 10 log x = x . Nota: el registro es base 10.
Encuentre los valores de x para log x <2.
Paso 1: Reemplaza la desigualdad con un signo igual.
Desde log x <2, escriba
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Paso 2: Con un logaritmo, sube a la potencia de la base.
Sube a la potencia de 10:
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Paso 3: resuelve.
Usando la propiedad inversa, un log x = x :
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Paso 4: Evaluar.
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Paso 5: determina el dominio.
x = 101, log 101 = 2.004 es mayor que 2 y no está en el dominio. x = 99, log 99 = 1.995 es menor que 2 y en el dominio. Entonces, nuestra conclusión debería ser x <100. A diferencia de las exponenciales, hay una consideración especial con los logaritmos: log x es válido para x mayor que cero. Por lo tanto, x <100 yx > 0. Combinando estas desigualdades, obtenemos: 0 < x <100.
Paso 6: Trazar.
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Los círculos muestran los valores faltantes en x = 0 y x = 100. El 0 no está incluido porque log (0) no está definido y el 100 no está incluido porque el problema de desigualdad original indicaba menos que ‘y no’ menor o igual a.’
Volver al ejemplo de fondo
Regresemos al ejemplo con el que comenzamos nuestra lección mirando a Samantha mirando la retención de valor de su nuevo automóvil. Puede comenzar escribiendo una ecuación basada en una depreciación del 16.8% anual. Necesita considerar la ecuación, y = y o (1 – .168) x . El valor original es y o , el valor actual es y y x es el número de años desde la compra. ¿Tiene sentido esta ecuación? Al principio, x = 0 años e y = y o (1 – .168) 0 = y o , como se esperaba. Después de un año, x= 1, y y = y o (1 – .168) 1 = .832 y o , lo cual tiene sentido.
¿Durante cuántos años el valor presente es mayor que la mitad de lo que pagó Samantha? En términos de una desigualdad, encuentre x donde y ≥ .5y o .
De y ≥ .5y o , sustituya y o (.832) x por y :
y o (.832) x ≥ .5y o
Cancelar el y o :
(.832) x ≥ .5
Esta es la desigualdad exponencial a resolver. Dado que el valor inicial ya no está en la desigualdad, el precio minorista sugerido por el fabricante no afectará los resultados.
Paso 1: Reemplaza la desigualdad con un signo igual.
De (.832) x ≥ .5 escriba:
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Paso 2: Con un exponente, usa logaritmos.
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Paso 3: resuelve.
Trae la x al frente:
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Dividir por log .832:
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Paso 4: Evaluar.
log .5 = -0.301 y log .832 = -0.0799. Por tanto, x = -0,301 / -0,0799 = 3,77 años.
Paso 5: determina el dominio.
Pruebe un número mayor que 3.77, como x = 4. Entonces, (.832) 4 = .48 es menor que .5. Los números superiores a 3,77 no funcionan. ¿Qué tal un número menor que 3,77, como x = 3? Bueno, (.832) 3 = .58 funciona porque .58 es mayor que .5.
Paso 6: Trazar.
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Se incluyen los valores en x = 0 y x = 3,77. Se incluye 3.77 porque la desigualdad usa un menor o ‘igual a’ y el 0 se incluye porque el punto de partida en el tiempo para el valor presente del automóvil es cuando Samantha compra el automóvil en un momento ‘igual a’ cero.
Samantha puede quedarse con el automóvil durante 3.77 años, durante los cuales el valor del automóvil será ≥ la mitad de su valor original.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. Las desigualdades exponenciales contienen exponentes y las desigualdades logarítmicas contienen logaritmos. Ambos usan uno de los cuatro tipos de desigualdades : mayor que, mayor que o igual que, menor que y menor que o igual a. Tomar logaritmos y exponenciar son operaciones inversas, ya que una operación deshará la otra. Esto se muestra claramente mediante 10 log x = x .
Los pasos de la solución para este proceso son los siguientes:
Paso 1: Reemplaza la desigualdad con un signo igual.
Paso 2: Con un exponente, use logaritmos; con un logaritmo, elevar a la potencia de la base.
Paso 3: resuelve.
Paso 4: Evaluar.
Paso 5: determina el dominio.
Paso 6: Trazar.
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