Cómo resolver el cociente de diferencia

Publicado el 24 noviembre, 2020

Pasos para resolver

El cociente de diferencias es una parte importante de las matemáticas, especialmente del cálculo. Dada una función f ( x ), y dos valores de entrada, x y x + h (donde h es la distancia entre x y x + h ), el cociente de diferencia es el cociente de la diferencia de los valores de la función, f ( x + h ) – f ( x ), y la diferencia de los valores de entrada, ( x + h ) – x .

diffquot1

Continuando, podemos simplificar el denominador de esto porque la x se cancela, lo que puede ver aquí.

diffquot2

Vemos que el cociente de diferencias es el siguiente:

( f ( x + h ) – f ( x )) / h

¡Excelente! Tenemos una fórmula para el cociente de diferencias. Ahora, consideremos los pasos necesarios para resolver este cociente de diferencias. Cada vez que se nos da una fórmula, resolver la fórmula es solo una cuestión de encontrar los valores de las variables y expresiones involucradas en la fórmula, insertarlas en la fórmula y luego simplificar. Por lo tanto, los siguientes pasos se utilizan para resolver el cociente de diferencias para una función, f ( x ).

  1. Reemplaza x + h en la función f y simplifica para encontrar f ( x + h ).
  2. Ahora que tiene f ( x + h ), encuentre f ( x + h ) – f ( x ) sustituyendo f ( x + h ) y f ( x ) y simplificando.
  3. Reemplaza el resultado del paso 2 para el numerador en el cociente de diferencias y simplifica.

Bien, tres pasos. ¡Podemos manejar esto! Probemos con un ejemplo. Supongamos que queremos encontrar el cociente de diferencias para la función

g ( x ) = x 2 + 3

Como puede ver aquí, comenzamos reemplazando la expresión x + h en g , y simplificando.

diffquot3

Como podemos ver, obtenemos que g ( x + h ) = x 2 + 2 x h + h 2 + 3. Luego, reemplazamos g ( x + h ) y g ( x ) en g ( x + h ) – g ( x ) y simplifica.

diffquot4

Como puede ver, terminamos con 2 xh + h 2 . ¡Hasta ahora tan bueno! Todo lo que nos queda por hacer es conectar esto para el numerador en el cociente de diferencias y simplificar.

diffquot5

Vemos que dada la función g ( x ) = x 2 + 3 y dos valores de entrada de x y x + h , el cociente de diferencia es 2 x + h , donde h es la diferencia entre los dos valores de entrada. ¡Eso no es tan malo!

Interpretación geométrica

Bien, conocemos la fórmula para el cociente de diferencias y sabemos cómo resolver el cociente de diferencias, pero ¿por qué es útil? Para entender esto, consideremos la interpretación geométrica del cociente de diferencias.

Cuando introdujimos la fórmula para el cociente de diferencias,

( f ( x + h ) – f ( x )) / h

lo definimos en términos de una función dada f ( x ), y dos valores de entrada x y x + h . Pensemos en eso por un segundo. Si tenemos valores de entrada de x y x + h , entonces los valores de función correspondientes, o valores de y , son f ( x ) y f ( x + h ), por lo que estamos considerando dos puntos en la función; ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x+ h )).

diffquot6

Ahora, el aviso de que antes hemos simplificado el cociente de la diferencia, que era la diferencia de los valores de la función (o Y -valores) f ( x + h ) y f ( x ) dividida por la diferencia en las x -valores, x + h y x .

( f ( x + h ) – f ( x )) / ( x + h ) – x

Hmm. . . entonces, básicamente, el cociente de diferencias es el cambio en los valores de y dividido por el cambio en los valores de x para los dos puntos ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x + h ), que están en el función f . ¿Te suena familiar? Quizás estés pensando en tus días de álgebra y recordando algo llamado pendiente. La pendiente de una recta que pasa por los puntos ( x 1 , x 2 ) e ( y 1 , y 2 ) es el cambio en y-valores de esos puntos divididos por el cambio en x -valores de esos puntos.

diffquot7

¡Ah-ja! ¡Eso es! El cociente de diferencia es el mismo que la pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualesquiera, ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x + h )), en la función. A la recta que pasa por dos puntos cualesquiera en una función la llamamos recta secante que pasa por esos puntos, por lo que, en conjunto, tenemos que la interpretación geométrica del cociente de diferencias es que es igual a la pendiente de la recta secante a través de dos puntos cualesquiera de una función. .

diffquot8

También puede recordar que la pendiente de una línea es la tasa de cambio de y con respecto a x . Usamos este hecho junto con la interpretación geométrica del cociente de diferencias para sumar que el cociente de diferencias es la tasa promedio de cambio de una función entre dos puntos de la función. Esto será útil cuando se trate de problemas de velocidad relacionados con la distancia, la velocidad y la aceleración. No solo esto, sino que en el futuro, en cálculo, esta será una información muy valiosa cuando llegue a estudiar la definición de derivadas.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a revisar lo que hemos aprendido sobre cómo resolver el cociente de diferencias. El cociente de diferencias es el cociente de la diferencia de los valores de la función, f ( x + h ) – f ( x ), y la diferencia de los valores de entrada, ( x + h ) – x . Dada una función f ( x ) y dos valores de entrada, x y x + h , el cociente de diferencias se puede encontrar con la siguiente fórmula:

( f ( x + h ) – f ( x )) / h

Los pasos que seguimos para encontrar el cociente de diferencias son los siguientes:

  1. Reemplaza x + h en la función f y simplifica para encontrar f ( x + h ).
  2. Ahora que tiene f ( x + h ), encuentre f ( x + h ) – f ( x ) sustituyendo f ( x + h ) y f ( x ) y simplificando.
  3. Reemplaza el resultado del paso 2 para el numerador en el cociente de diferencias y simplifica.

Como puede ver, este cociente de diferencia es definitivamente algo para guardar en su caja de herramientas de matemáticas mentales para muchos usos diferentes, ahora y en el camino.

¡Puntúa este artículo!