Cómo resolver exponentes fraccionarios

Radical complicado: ¿Qué hacer?

¿Cómo resolverías un problema como este?

Esta es una expresión radical compleja que sería bastante difícil de resolver tal como está. Los exponentes fraccionarios nos permiten trabajar con radicales mientras usamos reglas de exponentes. Un exponente fraccionario es solo otra forma de escribir un radical. Volveremos a este problema más adelante en la lección.

Los exponentes fraccionarios son radicales disfrazados

Los exponentes fraccionarios son solo otra forma de escribir un radical. Recuerde que un radical, o raíz, es el número que multiplicamos para encontrar un valor. Por ejemplo, si tuviéramos el valor 25, ¿qué multiplicamos para obtener 25? Como los números tienen que ser iguales, la única solución sería 5 x 5. Entonces, la raíz, o el número, multiplicado es 5. ¿Cuál sería la raíz de 36? ¿Qué multiplicamos juntos para obtener 36? Por supuesto, 6, ya que 6 x 6 = 36. Entonces, un radical es cómo encontramos las raíces. Usamos el símbolo radical para encontrar la raíz. El número bajo el signo del radical se llama radicando . Una raíz cuadrada no muestra el índice de 2, pero está implícito. El índicenos dice cuántas veces usamos la raíz. Cuando no hay índice, significa que estamos encontrando el valor que se multiplica por dos, o raíz cuadrada.

Todos los radicales se escriben con un exponente en el radicando. Este exponente puede verse u ocultarse. Si no hay exponente en el radicando, entonces es un 1. Esta configuración es la base para escribir un radical como exponente fraccionario. Otra forma de decir exponente fraccionario es exponente racional, ya que un número racional se puede escribir como una fracción.

Usando los mismos términos que arriba, el radical se puede escribir con un exponente fraccionario de esta manera:

Como puede ver, el exponente es el numerador y el índice es el denominador. La base es el radicando. Escribir exponentes fraccionarios es solo otra forma de trabajar con radicales.

Ahora que sabemos cómo configurar exponentes fraccionarios, probemos algunos:

Observe que el radicando, 4, es la base, el numerador es el exponente, 1, en el radicando, y el denominador es el índice, 2.

Nuevamente, el radicando es la base, el numerador es el exponente del radicando, 2, y el denominador es el índice, 3.

Ahora calculemos

A medida que resuelve estos problemas, recuerde repensar cómo ve un exponente fraccionario. El denominador te dice qué raíz estás buscando. Si el denominador es un 2, estás buscando la raíz cuadrada. Si es un 3, está buscando la tercera raíz.

Una vez que encuentre la raíz que está buscando, aplique el numerador a la raíz que encuentre.

Por ejemplo,

• 9 ^ 1/2 dice hallar la raíz cuadrada de 9, que es 3, luego 3 ^ 1 = 3. Entonces 9 ^ 1/2 es la raíz cuadrada de 9 que es 3.
• 25 ^ 1/2 dice hallar la raíz cuadrada de 25, que es 5. Entonces 25 ^ 1/2 es la raíz cuadrada de 25, que es 5.
• 8 ^ 1/3 dice hallar la raíz cúbica de 8, que es 2 ya que 2 x 2 x 2 = 8. Entonces 8 ^ 1/3 es la raíz cúbica de 8.
• 8 ^ 2/3 dice que primero encuentre la raíz cúbica de 8, que es 2, luego aplique el numerador, 2, a su raíz. Entonces 2 ^ 2 = 4.
• 25 ^ 3/2 dice, encuentra la raíz cuadrada de 25, que es 5, luego 5 ^ 3 es 5 x 5 x 5 = 125.

Tomar cada uno, un paso a la vez, nos permite encontrar primero la raíz, usando el denominador, luego usar el numerador como exponente en la raíz.

Volviendo al primer problema

Volvamos a este problema:

Dado que este es un radical complejo, analicémoslo de adentro hacia afuera. El radical más interno es 6 ^ 1/5. Luego, encima de eso, está el radical 1/2, luego el radical más externo es 1/4. Entonces, usando la regla de potencia de los exponentes, multiplicaremos siempre que tengamos un exponente en un exponente. (Repase la lección Reglas de exponentes para obtener ayuda).

Resumen de la lección

Los exponentes fraccionarios son solo otra forma de trabajar con radicales. Simplifica el proceso de trabajar con radicales cambiando el radical en un exponente fraccionario.

El índice nos dice el número de raíces con las que estamos trabajando y es el denominador del exponente fraccionario.

El numerador del exponente fraccionario es el exponente del radicando.

El radicando es la base del exponente.

Una vez que cambie el radical en un exponente fraccionario, puede usar las Reglas de exponente para simplificar la expresión.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador