Cómo resolver las desigualdades compuestas ‘y’ y ‘o’

¿Qué son las desigualdades?

Sydney tiene un importante examen de matemáticas el viernes. Quiere estudiar para su examen durante al menos 30 minutos. Los padres de Sydney le dijeron que tenía que irse a practicar natación en 60 minutos. Por lo tanto, puede estudiar durante no menos de 30 minutos y no más de 60 minutos. Este escenario se puede escribir como una desigualdad compuesta . Pero, ¿qué significa esto exactamente?

Puede pensar en una desigualdad como una ecuación, excepto que el signo igual se reemplaza por un signo menor o mayor que. Todavía necesitamos resolver la desigualdad como lo haría con una ecuación. La única diferencia es que en lugar de una respuesta que hace que la ecuación sea verdadera, como x = 3, hay muchas respuestas que hacen que una desigualdad sea verdadera, como x <5. En este caso, todos los números menores que cinco harían que la desigualdad sea verdadera.

• 2 x + 5 = 7 es una ecuación porque tiene un signo igual.
• 2 x + 5 <7 es una desigualdad porque tiene un signo de desigualdad.

Una desigualdad compuesta es solo más de una desigualdad que queremos resolver al mismo tiempo. Podemos usar la palabra ‘y’ o ‘o’ para indicar si estamos buscando la solución de ambas desigualdades (y), o si estamos buscando la solución de cualquiera de las desigualdades (o).

x <7 y x > -3, que también se puede escribir como -3 < x <7, es una desigualdad compuesta porque son dos desigualdades conectadas por la palabra ‘ y ‘. Esto también se conoce como conjunción . En este caso, buscamos la solución para ambas desigualdades. En otras palabras, esta solución satisface ambas desigualdades.

x > 7 o x <-3 es una desigualdad compuesta, también conocida como disyunción , porque son dos desigualdades conectadas por la palabra ‘ o ‘. En este caso, buscamos una solución para cualquiera de las ecuaciones.

Regresemos con Sydney. Sabemos que necesita estudiar durante al menos 30 minutos, pero menos de 60. Si configuramos esto como una desigualdad compuesta, se verá así: x > 30 yx <60, también escrito como 30 < x <60.

Cómo resolver una desigualdad compuesta

Ejemplo 1

Echemos un vistazo a la desigualdad 2 + x <5 y -1 <2 + x , que también se puede escribir como -1 <2 + x <5. Esta es una desigualdad compuesta porque usa la palabra ‘y’. Ahora vamos a resolverlo.

1) Resuelve cada parte de la desigualdad por separado.

2 + x <5 y -1 <2 + x

En la primera ecuación, 2 + x <5, necesitamos restar 2 de cada lado para obtener la variable por sí misma. Entonces obtenemos x <3.

En la segunda ecuación, -1 <2 + x , nuevamente restamos 2 de ambos lados. Esto nos da -3 < x .

Nuestra solución, entonces, es x <3 y -3 <x, o -3 < x <3.

2) Grafica en la recta numérica.

Dado que se trata de una conjunción, el espacio entre -3 y 3 es donde se encuentra la respuesta. En otras palabras, cualquier valor entre -3 y 3 satisface esta desigualdad compuesta.

¿Recuerdas a Sydney? Si tuviéramos que mostrar su desigualdad en una recta numérica, mostraría que todos los números entre 30 y 60 serían posibles soluciones. Es decir, podría estudiar durante 35 minutos, 42 minutos y así sucesivamente.

Ejemplo 2

Pero, ¿y si resolvemos una disyunción? Echemos un vistazo a la siguiente desigualdad: 7> 2 x + 5 o 7 <5 x – 3. Esta vez se usa la palabra ‘o’ en lugar de la palabra ‘y’. ¿Cómo resolvemos esto?

1) Resuelve cada desigualdad:

Para 7> 2 x + 5, restamos 5 de cada lado para obtener 2> 2 x . Dividimos cada lado por 2 y obtenemos 1> x .

Para 7 <5 x – 3, sumamos 3 a cada lado y obtenemos 10 <5 x . Divida cada lado por 5 y tenemos 2 < x .

2) Grafica en la recta numérica.

Dado que esta es una disyunción, cualquier valor mayor que 2 y menor que 1 es donde se encuentra la respuesta. Todos los números reales satisfacen esta desigualdad compuesta.

Notas importantes

Hay algunos puntos importantes que debes tener en cuenta al resolver desigualdades compuestas.

1.) Si desea verificar su respuesta o no está seguro de su respuesta, elija un valor dentro de la región sombreada en la recta numérica y conéctelo a ambas desigualdades. Si obtiene un enunciado verdadero en ambas desigualdades, sabrá que la respuesta es correcta. Por ejemplo, cuando resolvimos 2 + x <5 y -1 <2 + x encontramos que la solución era -3 < x <3. 1 es un valor entre -3 y 3. Vamos a conectarlo a la desigualdad para verificar nuestro trabajo. .

• Si sustituimos 1 por x en 2 + x <5, obtenemos 2 + 1 <5, o 3 <5.
• Si sustituimos 1 por x en -1 <2 + x, obtenemos -1 <2 + 1, o -1 <3.

Ambas son declaraciones verdaderas, por lo tanto, nuestra respuesta es correcta.

2.) Al graficar desigualdades, use un círculo abierto para menor o mayor que y un círculo sombreado para menor o igual a y mayor o igual a. Esto nos dice si el número que se muestra en la recta numérica está incluido (si está sombreado) o excluido (si está abierto) como una solución a la desigualdad.

3.) Si ambas flechas apuntan de la misma manera, asegúrese de indicar dónde es verdadera la desigualdad compuesta. Por ejemplo, si resolvió la desigualdad y obtuvo x > -3 ox > 5, se vería así:

Dado que se trata de una disyunción, la región sombreada mayor que -3 satisface esta desigualdad. Si fuera una conjunción con ‘y’, solo la región sombreada mayor que 5 satisfaría la desigualdad.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos que una desigualdad es como una ecuación, excepto que usa un signo de desigualdad en lugar de un signo igual. Aprendimos que una conjunción son dos desigualdades que usan la palabra ‘ y ‘ y que la solución satisface ambas desigualdades. También aprendimos que una disyunción es una combinación de dos desigualdades que usa la palabra ‘ o ‘ y que la solución satisface cualquiera de las ecuaciones.

Para resolver una desigualdad, primero resuelva cada desigualdad por separado tal como lo haría con una ecuación. Una vez que hayas resuelto cada parte, grafica las desigualdades en la misma recta numérica. Si es una conjunción que usa la palabra y, la solución debe funcionar en ambas desigualdades y la solución está en la región de superposición de la gráfica. Si es una disyunción que usa la palabra o, la solución debe funcionar en cualquiera de las ecuaciones. Elija siempre un valor y vuelva a conectarlo a la desigualdad original para determinar si la respuesta es correcta.

Desigualdades compuestas ‘Y’ y ‘O’: Vocabulario

Los resultados del aprendizaje

Una vez que los alumnos terminen esta lección, deberían poder:

• Definir desigualdad y desigualdad compuesta
• Contrastar las desigualdades de conjunción y disyunción
• Resolver desigualdades compuestas y representar gráficamente sus soluciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador