El teorema de Pitágoras y la distancia
Ahora, me gusta la tecnología tanto como cualquier otro y se sabe que usa mi teléfono inteligente para decirme cómo llegar a la tienda de comestibles a solo cuatro cuadras de distancia, pero aun así, de vez en cuando, disfruto ir de campamento y conseguir fuera del alcance del teléfono celular durante unos días para alejarse de todo. De hecho, recientemente fui de excursión por la división continental cerca de Boulder, Colorado con un buen amigo.
Estábamos planificando nuestra ruta para el día y elegimos un lugar en nuestro mapa que parecía un lugar genial para pasar la noche. La cosa era que parecía un poco lejana, y no estábamos seguros de poder hacerlo en un día. Además de eso, nuestros teléfonos no funcionaban y no podían decirnos qué tan lejos estaba. En el mapa, estaba en diagonal respecto a nosotros, lo que significaba que no podíamos contar cuántas casillas había encima.
Eso significaba que había llegado el momento de aplicar un buen Teorema de Pitágoras a la antigua: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Contando hacia arriba y luego hacia arriba, teníamos un triángulo rectángulo, y la distancia entre nosotros y el campamento era solo la longitud lateral c . Unos pocos cálculos rápidos más tarde, y descubrimos que estábamos a unas 8.5 millas de distancia, ¡no cerca, pero factible!
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Ahora, en este punto de la lección, es posible que se esté preguntando: ‘¿No se supone que esto se trata de la fórmula de la distancia?’ ¿Por qué utilizamos el teorema de Pitágoras? Bueno, la razón por la que les muestro esto es porque la fórmula de la distancia es realmente una versión condensada del Teorema de Pitágoras. Toma todos los pasos que acabamos de hacer y los combina en una fórmula.
Debido a que convierte tantos pasos en una línea matemática, en realidad es una fórmula bastante complicada y puede ser fácil cometer errores. Entonces, antes de mostrarte la fórmula, quería que vieras de dónde viene. Piense en la fórmula de la distancia como un atajo. Si alguna vez olvidas el atajo o sientes que el atajo no es para ti, siempre puedes usar el Teorema de Pitágoras, como te mostré.
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La fórmula de la distancia
Así que aquí está, la fórmula de la distancia :
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Ahora, aunque parece un gran lío de letras y matemáticas, solo piense en ello como c = sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2). La forma en que encontramos a en la fórmula de la distancia es simplemente haciendo ( x 2 – x 1), y la forma en que encontramos b es simplemente ( y 2 – y 1). Esto es básicamente lo que hicimos anteriormente contando en el mapa.
Entonces, si tuviéramos que encontrar la distancia al campamento con la fórmula esta vez, se vería así:
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( x 2 – x 1) sería simplemente (1 – 8), y ( y 2 – y 1) sería (7 – 2). Esos dos pequeños problemas nos dan -7 y 5, y luego elevar al cuadrado ambos números nos da 49 y 25. ¿Te suena familiar? Sumar esos dos nos da 74, y luego sacar la raíz cuadrada nos deja finalmente con 8.6, como antes.
La única diferencia entre esta forma y el Teorema de Pitágoras era que teníamos un -7 para algunos pasos haciéndolo de esta forma, mientras que antes era un +7. Eso sucederá muchas veces, pero no importa, porque cuando lo multiplicamos por sí mismo (cuando lo cuadramos), se vuelve positivo de todos modos; lo negativo desaparece.
¡Y eso es! Esa es la fórmula de la distancia. Intentemos algunos ejemplos rápidos con la fórmula para que practique un poco.
Ejemplo 1
Por lo general, verá los problemas expresados de esta manera: Encuentre la distancia entre los puntos (5, 9) y (-2, 3). Ahora, podríamos simplemente graficar estos dos puntos, ir hacia arriba y hacia arriba para formar un triángulo, y luego usar a ^ 2 + b ^ 2 para encontrar c ^ 2, como el Teorema de Pitágoras, pero practiquemos un poco usando la distancia fórmula en su lugar.
Vamos a empezar por la identificación x 1, x 2, y 1 y y 2 x 1 es el primer x valor y x 2 el segundo; lo mismo para los y s. Ahora conectamos estos valores en sus lugares en la fórmula, dándonos esto: d = sqrt ((- 2 – 5) ^ 2 + (3 – 9) ^ 2). Hacer la resta nos deja con -7 y -6. Luego, elevar estos números al cuadrado los convierte en 49 y 36. Sumarlos da 85, y luego sacar la raíz cuadrada nos da nuestra respuesta alrededor de 9.2.
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Ejemplo 2
No está tan mal, ¿verdad? Hagamos uno más por si acaso. Encuentre la distancia entre (-2, -1) y (2, -4). Nuevamente, comience identificando x 1, x 2, y 1 e y 2. Luego, sustitúyalos en la fórmula: d = sqrt ((2 – (-2)) ^ 2 + ((-4) – (-1) ) ^ 2). Esta vez, debemos tener mucho cuidado con nuestros negativos. 2 – (-2) es como 2 + 2, por lo que nos da 4, y -4 – (-1) es como -4 + 1, que es -3. Eso nos deja aquí, con 4 al cuadrado y -3 al cuadrado en el interior de la raíz cuadrada. Estos se convierten en 16 y 9, que se suman a 25, y la raíz cuadrada de 25 es simplemente el antiguo 5.
Resumen de la lección
¡Y esa es la fórmula de la distancia ! Repasemos rápidamente lo que hemos aprendido. La fórmula de la distancia es una versión condensada del Teorema de Pitágoras ( a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2) y se ve así: d = sqrt (( x 2 – x 1) ^ 2 + ( y 2 – y 1) ^ 2). x 1, x 2, y 1 y y 2 son sólo la x y Y coordenadas de estos dos puntos. Y, por último, tenga cuidado cuando tenga que insertar negativos en la fórmula de distancia. A veces, dos negativos forman un positivo.
Los resultados del aprendizaje
Al final de esta lección, podrá:
- Explica cómo la fórmula de la distancia se relaciona con el Teorema de Pitágoras.
- Identifica la fórmula de la distancia
- Calcule la distancia entre puntos usando la fórmula de distancia
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