Comportamiento a corto y largo plazo de los polinomios: definición y ejemplos

Comportamiento de los polinomios

Las funciones polinomiales son funciones compuestas por términos compuestos por constantes, variables y exponentes, y son muy útiles. Nos ayudan a describir eventos y situaciones que suceden a nuestro alrededor. Por ejemplo, la función polinomial f ( x ) = -0.05 x ^ 2 + 2 x + 2 describe la cantidad de un determinado fármaco que queda en la sangre después de x número de horas. Graficando esta función médica, obtenemos este gráfico:

Al observar el gráfico, vemos que el nivel de la droga primero aumenta y luego disminuye con el tiempo. Después de aproximadamente 41 horas, el fármaco desaparece por completo de la sangre. En matemáticas, tenemos dos formas de describir nuestra gráfica. El primero se denomina comportamiento a corto plazo , que es el comportamiento del gráfico alrededor del origen, y el segundo se denomina comportamiento a largo plazo , que es el comportamiento del gráfico en los extremos lejanos del gráfico.

Miremos estos ahora con nuestro gráfico médico. A los matemáticos les gusta estudiar el comportamiento de los polinomios en estas dos áreas porque les da una idea de lo que les sucede a las funciones en sus extremos. Esto ayuda a hacer predicciones hipotéticas sobre lo que podría suceder cuando ocurre una circunstancia extrema.

Comportamiento a corto plazo

Veamos primero el comportamiento a corto plazo . Nuevamente, este es el comportamiento en torno al origen. Mirando nuestra gráfica, vemos que alrededor del origen, cuando tenemos un valor de x de 0, ya tenemos algo del fármaco en la sangre. En cuanto a lo que realmente está sucediendo, a las 0 horas, el paciente recibió la inyección del fármaco.

Teóricamente, según la función, si retrocedemos un poco en el tiempo, el nivel de fármaco en sangre disminuirá a 0. Si vamos un poco más allá, el nivel de fármaco desciende a negativo. En realidad, sabemos que después de que el nivel de la droga llega a 0, físicamente no puede bajar más. También vemos que si nos desplazamos un poco hacia la derecha, el nivel del fármaco en sangre aumenta. Entonces, vemos que el comportamiento a corto plazo de esta función es que aumenta con el tiempo.

Comportamiento a largo plazo

El siguiente comportamiento es el comportamiento a largo plazo . Este es el comportamiento en los extremos más alejados del gráfico. Cuando digo extremos lejanos, me refiero al extremo izquierdo y al extremo derecho. Mirando nuestro gráfico, vemos que a medida que vamos hacia el extremo izquierdo y hacia el extremo derecho, el gráfico desciende al infinito negativo. Entonces, teóricamente, el nivel de la droga en sangre sigue bajando. Entonces, podemos decir que el comportamiento a largo plazo de la droga es que desciende al infinito negativo. Este es el tipo de análisis que se requiere cuando se analiza el comportamiento a corto y largo plazo. Veamos un par de gráficos más.

Ejemplos

Esta es una gráfica de la función f ( x ) = 3 x – 4:

Mirando de cerca al origen, que es el punto (0, 0), vemos que nuestra gráfica interseca el eje y en -4. También vemos que el gráfico aumenta constantemente alrededor del origen. Ahí tenemos el comportamiento a corto plazo. En cuanto al comportamiento a largo plazo, si vamos al extremo izquierdo, vemos que el gráfico desciende hasta el infinito negativo. Yendo hacia el extremo derecho, vemos que la gráfica sube hasta el infinito positivo.

Entonces, la gráfica nos dice que cuando nuestros valores de x son realmente pequeños, el valor de la función también es muy pequeño; cuando los valores de x son realmente grandes, el valor de la función también es muy grande, y ahí tenemos el comportamiento a largo plazo. Realmente, encontrar el comportamiento a corto y largo plazo de un gráfico es bastante sencillo después de graficar la función.

Veamos otra función. Esta es la gráfica de la función f ( x ) = x ^ 2-3:

Alrededor del origen, desciende a -3 cuando el valor de x es 0. Desde este punto, la gráfica se eleva en ambos lados. Este es el comportamiento a corto plazo. El comportamiento a largo plazo de este gráfico es que va hacia el infinito positivo hacia el extremo izquierdo y el extremo derecho, y ahí tenemos el comportamiento a corto y largo plazo de este gráfico.

Después de analizar diferentes gráficos, es posible que comience a ver algunos patrones en el comportamiento a largo plazo de ciertas funciones. Notarás que si tenemos un polinomio cuadrático, una función de grado 2, y si la función es positiva, entonces el comportamiento a largo plazo es que va hacia el infinito positivo; si nuestro polinomio cuadrático es negativo, entonces el comportamiento a largo plazo va hacia el infinito negativo. Hay más patrones por ahí, demasiados para caber en esta lección. Siga analizando y verá que surgen más patrones.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Hemos aprendido que las funciones polinomiales son funciones formadas por términos compuestos por constantes, variables y exponentes. Son muy útiles porque describen eventos y situaciones que ocurren en el mundo real. El ejemplo que usamos fue el nivel en sangre de un determinado medicamento después de x número de horas.

Aprendimos que el comportamiento a corto plazo de un polinomio es el comportamiento alrededor del origen. El comportamiento a largo plazo es el comportamiento en los extremos del gráfico, el extremo izquierdo y el extremo derecho. Para analizar este comportamiento, miramos el gráfico y describimos lo que vemos.

El comportamiento a largo plazo es aquel en el que verá emerger patrones. Un patrón es que para polinomios cuadráticos positivos, el comportamiento a largo plazo va hacia el infinito positivo; para polinomios cuadráticos negativos, el comportamiento a largo plazo va hacia el infinito negativo.

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine esta lección, debería poder:

• Identificar una función polinomial
• Describir e identificar el comportamiento a corto y largo plazo de un polinomio graficado
• Analizar la gráfica de un polinomio

Rodrigo Ricardo Editor y fundador