Congruencia en triángulos superpuestos

Triángulos congruentes

Dos triángulos son congruentes si tienen exactamente el mismo tamaño y forma, lo que significa que tienen las mismas medidas de ángulo y la misma longitud de lado. Si sabemos que todos los lados y todos los ángulos son congruentes en dos triángulos, entonces sabemos que los dos triángulos son congruentes. Para ayudar a mostrar que dos triángulos son congruentes y para comprender qué ángulos y qué lados son congruentes, usamos marcas de graduación para mostrar los lados y ángulos correspondientes.

Observe las marcas de graduación que se usan para mostrar qué lados y ángulos son congruentes.

No necesariamente necesitamos saber que todos los lados y ángulos son congruentes para probar que dos triángulos son congruentes.

Formas de demostrar que los triángulos son congruentes

Ahora, exploremos las diferentes formas en que puedes saber si dos triángulos son congruentes y veamos ejemplos que demuestran estos métodos.

Lado-lado-lado (SSS)

Si sabemos que tres lados de un triángulo son congruentes con tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Lado-ángulo-lado (SAS)

Si sabemos que dos lados y el ángulo entre ellos son congruentes con los dos lados y el ángulo entre ellos en otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Es importante que el ángulo sea el ángulo incluido , lo que significa que está entre los dos lados.

Ángulo-lado-ángulo (ASA)

Si sabemos que dos ángulos y el lado entre ellos son congruentes con los dos ángulos y el lado entre ellos en otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. En este caso, el lado es el lado incluido , porque está entre los dos ángulos.

Ángulo-Ángulo-Lado (AAS)

Si sabemos que dos ángulos y un lado son congruentes con los dos ángulos y un lado de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. El lado aquí es el lado no incluido , lo que significa que no es el lado entre los dos ángulos.

Hipotenusa-pierna (HL)

Si la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y el cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Maneras que no funcionan: No hay forma de probar dos triángulos congruentes si tienes dos lados y un ángulo que no está entre los dos lados. Tampoco puedes probar dos triángulos congruentes con solo saber que los tres ángulos son congruentes.

Congruencia en triángulos con partes superpuestas

Ejemplo 1

En este ejemplo, los dos triángulos están uno al lado del otro y comparten un lado común, AC. Como AC es el mismo lado en ambos triángulos, sabemos que debe ser congruente consigo mismo. Esta propiedad se llama propiedad reflexiva de congruencia , que dice que cualquier segmento o ángulo es congruente consigo mismo.

Dado que los triángulos tienen tres lados congruentes entre sí, entonces estos dos triángulos son congruentes por SSS.

Ejemplo 2

El triángulo ABC y el triángulo ADC comparten un lado común, AC. Nuevamente, por la propiedad reflexiva, sabemos que el lado AC es congruente consigo mismo.

Como tenemos dos lados marcados y sabemos que el ángulo entre esos dos lados es un ángulo recto, entonces sabemos que estos dos triángulos son congruentes por SAS.

Ejemplo 3

En este ejemplo, es más fácil ver los dos triángulos si los dibujamos por separado.

Al separarlos, podemos ver que comparten el lado BC. Nuevamente, por la propiedad reflexiva, sabemos que BC es congruente consigo mismo.

Estos dos triángulos son congruentes según AAS, ya que tenemos dos ángulos y el lado no incluido congruente en ambos triángulos.

Ejemplo 4

En este ejemplo, tenemos dos triángulos, ACB y AED. Esta vez no comparten ningún lado común, sin embargo, sí comparten el ángulo A.

En esta imagen, tenemos dos ángulos y el lado no incluido congruente, por lo que estos dos triángulos son congruentes según AAS.

Resumen de la lección

Hay cinco formas de demostrar que los triángulos son congruentes, donde cada una requiere que sepas tres cosas.

• SSS: Los tres lados son congruentes.
• SAS: Dos lados y el ángulo incluido son congruentes.
• ASA: Dos ángulos y el lado incluido son congruentes.
• AAS: Dos ángulos y el lado no incluido son congruentes.
• HL: En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto son congruentes.

Para probar que los triángulos superpuestos son congruentes, usamos la propiedad reflexiva para demostrar que las partes superpuestas son congruentes. A veces, es más fácil ver los triángulos dibujando cada triángulo por separado y luego determinando si tienes lados o ángulos congruentes.