Demostrar las fórmulas de suma y resta para seno, coseno y tangente

Publicado el 22 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Fórmulas de suma y resta

La trigonometría está llena de identidades o definiciones. Los que está aprendiendo en este momento se han probado con el tiempo y se ha demostrado que son ciertos. Debido a que estas identidades se han derivado matemáticamente con pruebas formales, puede usar estas identidades sin preocuparse de que puedan darle una respuesta incorrecta.

El conjunto de identidades que veremos hoy se llama identidades de suma e diferencia de ángulos . Estas identidades definen cómo convertir una función trigonométrica de dos ángulos sumados o restados entre sí en una función trigonométrica de ángulos simples. Hay un total de seis de estas identidades. Dos para cada una de nuestras funciones trigonométricas de seno, coseno y tangente. Hay dos porque tenemos uno para sumar y otro para restar. Echemos un vistazo a cómo se ven.

prueba de identidad de diferencia de suma

Los símbolos alfa y beta representan ángulos escritos en radianes o grados. Haga todo lo posible por memorizarlos. Le ayudará a largo plazo en pruebas y exámenes. La clave para memorizarlos es buscar patrones.

Por ejemplo, las identidades de suma y diferencia de coseno se dividen en un par de cosenos y luego en un par de senos. Si sumamos los dos ángulos, entonces nuestro par de senos se restará de nuestro par de cosenos. Entonces, el signo cambia al coseno. Mirando nuestras identidades sinusoidales vemos que el signo permanece. Si sumamos los dos ángulos, entonces la parte de definición también tiene un plus. ¿Qué otros patrones ves?

Prueba

¿Recuerda cómo hablamos sobre cómo estas identidades se han probado o derivado matemáticamente para que pueda usarlas con confianza? Bueno, aquí hay una descripción general de una forma sencilla de probar estas identidades de suma y diferencia de ángulos. No espero que comprenda completamente estas pruebas, ya que estas derivaciones lo llevan al ámbito de las matemáticas superiores, como las exponenciales complejas y los números imaginarios. Pero, si puede ver aproximadamente cómo se han probado estas identidades, entonces le dará mucha más seguridad de que estas identidades funcionarán para usted y no le fallarán.

Echemos un vistazo a la prueba. Solo requiere cuatro líneas. Hace uso de exponenciales complejos. También hace uso de la fórmula de Euler, que establece que e ^ ix = cos x + i sin x . No se preocupe si esto no tiene sentido ahora. Una vez que profundice en las matemáticas superiores, como el cálculo y las superiores, comprenderá cómo todo esto se relaciona con lo que está aprendiendo ahora. Bien, aquí está la prueba:

prueba de identidad de diferencia de suma

Estudie esta prueba cuidadosamente y veremos que sí, usa las habilidades matemáticas superiores, pero también usa nuestras habilidades básicas de álgebra para multiplicar las cosas. Quizás se pregunte cómo llega esto a nuestras identidades. Bueno, eche un vistazo a la última línea y vea cómo tenemos dos pares de paréntesis. Ahora mire la primera línea, el lado izquierdo de la ecuación nos da nuestra suma de coseno y la suma de seno. Si establecemos la suma del coseno igual al primer conjunto de paréntesis en la última línea, vemos que obtenemos nuestra identidad de la suma del coseno. Si establecemos la suma del seno igual al segundo conjunto de paréntesis en la cuarta línea, vemos que obtenemos la identidad de la suma del seno.

prueba de identidad de diferencia de suma

Para obtener nuestras identidades de diferencia, simplemente reemplazamos nuestro ángulo beta con un ángulo beta negativo. Para obtener nuestras identidades de tangente, utilizamos la definición de tangente en términos de seno y coseno. Sabemos que la tangente es igual a seno / coseno, por lo que simplemente escribimos nuestra identidad de suma de tangente como la identidad de suma de seno sobre la identidad de suma de coseno. Luego simplificamos para llegar a nuestra identidad tangente.

prueba de identidad de diferencia de suma

Bastante ordenado, ¿no?

Usos

Ahora sabes que estas identidades son válidas; que puedes hacer con ellos Estas identidades son muy útiles para ayudarlo a resolver problemas de activación. Por supuesto, con la ayuda de calculadoras, puede resolver cualquier tipo de problema introduciéndolo. Pero mira, en el pasado, la gente no tenía el uso de calculadoras gráficas útiles que pueden hacer todo tipo de cálculos sofisticados. Tenían que resolver las cosas a mano. Entonces, estas identidades les ayudaron a hacer eso.

Cuando no podían evaluar la función trigonométrica de la suma de un par de ángulos, podían evaluar estos ángulos por separado y viceversa. Donde no pudieron evaluar las funciones trigonométricas para los ángulos simples, podrían evaluar la función trigonométrica para la suma de los ángulos. En algunas pruebas y exámenes que tomará, se aplica lo mismo. Es posible que no pueda usar una calculadora, por lo que deberá confiar en estas identidades para ayudarlo a resolver problemas de trigonometría. ¿Quieres ver cómo funciona esto?

Ejemplo

Echemos un vistazo a un ejemplo.

prueba de identidad de diferencia de suma

Al observar este problema, vemos que este es el lado derecho de la identidad de diferencia de coseno. También vemos que los ángulos por sí mismos no son fáciles de evaluar sin una calculadora. ¿Asi que que hacemos? Usamos nuestra identidad de diferencia de coseno para ayudarnos. Al usar esa identidad, encontramos que toda nuestra frase es igual al coseno de 5 pi sobre 12 menos pi sobre 12 . Esto se simplifica al coseno de 4 pi sobre 12 . Esto se simplifica aún más al coseno de pi sobre 3 . Esto lo podemos evaluar con la ayuda de nuestro círculo unitario, nuestro círculo especial con un radio de 1 que incluye los ángulos que tienen respuestas limpias para el coseno y el seno. Vemos que el coseno de pi sobre 3 es igual a 1/2. ¡Y hemos terminado!

Eso estuvo muy bien, ¿no? Pasamos de un problema que parecía muy difícil a un problema muy fácil de resolver. Y recuerde, si ve pi en su ángulo, entonces se trata de radianes. Si está utilizando una calculadora, asegúrese de que su calculadora esté configurada para calcular en radianes y no en grados.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido.

Aprendimos que las identidades de suma y diferencia de ángulos definen cómo convertir una función trigonométrica de dos ángulos sumados o restados entre sí en una función trigonométrica de ángulos simples. Tenemos un total de seis de ellos.

prueba de identidad de diferencia de suma

La prueba de estas identidades implica el uso de exponenciales complejos, así como el uso de la fórmula de Euler.

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Con la ayuda de estas identidades, podemos tomar problemas que no podemos evaluar fácilmente y convertirlos en algo que podamos. Podemos tener un problema con ángulos simples que no podemos evaluar por sí mismos, pero podemos evaluarlo si sumamos o restamos los ángulos. Y viceversa: podríamos tener un problema en el que no podemos evaluar los dos ángulos sumados o restados, pero podemos evaluar los ángulos por sí mismos. Sin usar una calculadora, podemos resolver nuestros problemas con la ayuda de nuestro círculo unitario, el círculo especial de radio 1.

Los resultados del aprendizaje

Después de que termine esta lección, debería poder:

  • Indique las identidades de suma y diferencia de ángulos para seno, coseno y tangente
  • Recuerde la validez de la prueba para las identidades de suma y diferencia de ángulos
  • Usar la suma de ángulos y las identidades de diferencia para resolver problemas de triángulos

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