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Derivar la ecuación de una elipse a partir de los focos

Publicado el 22 septiembre, 2020

Elipse y focos

¿Alguna vez ha dibujado un círculo ligeramente desordenado que parece un óvalo? Bueno, eso es lo que yo llamo una elipse. Técnicamente, una elipse es el conjunto de todos los puntos donde la suma de las distancias desde los focos es constante. Foci , plural de foco, es un término para dos o más puntos fijos.

Centrémonos en esta lección en averiguar la ecuación de la elipse cuando se le dan los focos.

Ecuación del eje mayor horizontal

Para que podamos resolver esto, primero debemos conocer algunas cosas realmente básicas. Supongamos que la elipse tiene un eje mayor horizontal. El eje mayor es el eje más largo (el diámetro más largo) de la elipse, el que pasa por los focos.

En este caso, las coordenadas del centro de una elipse se dan como ( h, k ). Las coordenadas de los focos se dan como ( h + c, k ) y ( hc, k ). Esto significa que cada foco se encuentra a c unidades del centro, donde c ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2. Si la elipse tiene un eje mayor horizontal, entonces la forma estándar de la ecuación de la elipse es como se muestra. En este caso, 0 < b < a .

Ecuación de elipse horizontal

Teniendo en cuenta que la ecuación, asegúrese de recordar esto para mí: si el denominador más grande ( una o b ) de la forma estándar es por debajo de la x -Variable, a continuación, el eje mayor es horizontal.

Ecuación del eje mayor vertical

Alternativamente, supongamos que la elipse tiene un eje mayor vertical.

En este caso, las coordenadas del centro de la elipse también se dan como ( h, k ). Sin embargo, las coordenadas de los focos se dan como ( h, k + c ) y ( h, kc) , donde c ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2, al igual que antes.

Ecuación de elipse vertical

Dado que dicha elipse tiene un eje mayor vertical, la forma estándar de la ecuación de la elipse es como se muestra. En este caso, 0 es aún menor que b, que es aún menor que a . Teniendo en cuenta que la ecuación, recuerde esto por mí: si el denominador más grande ( una o b ) de la forma estándar de la ecuación es por debajo de la y -Variable, a continuación, el eje mayor es vertical.

Para ambos tipos de elipses, la longitud del eje mayor es 2 * a , y el centro siempre se encuentra exactamente entre los dos focos.

Ejemplo

Eso es todo lo que necesita saber para derivar la ecuación de una elipse a partir de sus focos. Trabajemos juntos en un ejemplo:

Encontremos la forma estándar de la ecuación de una elipse cuyos focos están en (0,1) y (8,1) con una longitud de eje mayor de 12.

Si tuviéramos que graficar estos dos focos, veríamos que se encuentran en el plano horizontal. Esto significa que esta elipse tiene un eje mayor horizontal. Esto significa que la ecuación que necesitamos usar es la primera que se muestra arriba, donde 0 < b < a .

Con solo mirar el gráfico podemos saber dónde está el centro. Está exactamente entre los dos focos, que está en (4,1). O bien, podríamos haber sumado las dos coordenadas x y dividido a la mitad su suma para obtener la misma respuesta para nuestra coordenada x (4). Y, dado que el eje se encuentra en el plano horizontal, la coordenada y es siempre la misma que los focos, 1 en este caso.

Dado que nuestro centro está en (4,1) y porque sabemos que el centro está dado como ( h, k ), también sabemos que h = 4 y k = 1. Eso significa que podemos sustituir en los valores correctos para h y k en nuestra ecuación.

Ahora, tenemos que averiguar los valores de una y b . Como sabemos que la longitud del eje mayor es 12, y la longitud del eje mayor es igual a 2 * a , entonces podemos calcular que 2 a = 12 y por lo tanto a = 6, ya que 12 dividido por 2 es 6.

Ahora, sabemos que a = 6. También sabemos que cada foco se encuentra a c unidades del centro, donde c ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2. Al observar la gráfica, podemos decir que c es igual a 4. Entonces a = 6 y c = 4. Al conectar y tragar obtenemos 4 ^ 2 = 6 ^ 2 – b ^ 2, y esto significa 16 = 36 – b ^ 2, y como estamos hablando de distancias (es decir números positivos), entonces 20 = b ^ 2. Por tanto, b es igual a la raíz cuadrada de 20.

Ahora que conocemos todos los valores de nuestra ecuación, podemos decir que la forma estándar de la ecuación se ve así:

Ecuación de forma estándar para elipse

Resumen de la lección

Eso es. ¡Lo hiciste! Calculaste la ecuación para una elipse usando los focos.

Una elipse es el conjunto de todos los puntos donde la suma de las distancias desde los focos es constante. Foci , plural de foco, es un término para dos o más puntos fijos. Ahora conoce las dos ecuaciones diferentes para una elipse: una para los casos en los que el eje mayor es horizontal y la otra donde el eje mayor es vertical, como puede ver en la pantalla. Utilizándolos, ahora puede resolver problemas similares por su cuenta en el futuro con facilidad.

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