Diferencia entre un intervalo abierto y un intervalo cerrado

Publicado el 24 noviembre, 2020

Intervalos abiertos y cerrados

Imagínese esto: Sheila y su amigo Harry están en un parque de diversiones en la fila para un paseo donde ven un letrero que dice ‘Debes tener entre 5 y 6 pies de altura para montar en este paseo’. Bueno, ¡esto presenta una pregunta! Verás, Sheila mide exactamente 5 pies de altura y Harry mide exactamente 6 pies de altura, entonces, ¿pueden montar en el paseo o no?

Este es un ejemplo de por qué es importante que los intervalos de números especifiquen si incluyen o no sus puntos finales. En este caso, habría sido mucho más útil si el letrero dijera ‘entre 5 pies y 6 pies, incluidos 5 pies o 6 pies’ o ‘estrictamente más alto de 5 pies y estrictamente más corto de 6 pies (más alto de 5 pies, pero sin incluir 5 pies y menos de 6 pies, pero sin incluir 6 pies).

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Ambos signos alternativos son ejemplos de intervalos en matemáticas, donde un intervalo es un rango de números. Además, los dos signos alternativos en realidad representan dos tipos diferentes de intervalos.

El letrero que dice ‘entre 5 pies y 6 pies, incluyendo 5 pies o 6 pies’ es un ejemplo de un intervalo cerrado. Un intervalo cerrado es un intervalo que incluye todos sus puntos finales. Por otro lado, el letrero que dice ‘entre 5 y 6 pies, pero sin incluir 5 pies y 6 pies’ es un ejemplo de un intervalo abierto, donde un intervalo abierto es un intervalo que no contiene sus puntos finales.

Tipos de intervalos

Es fácil reconocer que un intervalo que contiene ambos extremos está cerrado y es fácil reconocer que un intervalo que no contiene ambos extremos está abierto. Sin embargo, a veces tratamos con un intervalo que contiene solo uno de sus puntos finales, o un intervalo que involucra infinito. Por ejemplo, considere los siguientes intervalos:

  1. ax < b o a < xb
  2. -∞ < x <∞ (todos los números reales)
  3. xa o xa
  4. x > a o x < a

En los primeros intervalos, vemos que los intervalos incluyen un punto final, pero no el otro. Cuando este es el caso, no clasificamos el intervalo como abierto o cerrado, decimos que es un intervalo medio abierto o medio cerrado . Usamos estos dos términos indistintamente.

El segundo intervalo implica el infinito. Podemos considerar el infinito y el infinito negativo como puntos finales de dos formas. Por un lado, el infinito es un concepto, no un número real, por lo que nunca podemos alcanzarlo. Viéndolo de esta manera, diríamos que los extremos infinito e infinito negativo no están incluidos en el intervalo, por lo que es un intervalo abierto.

Por otro lado, cuando un intervalo implica el infinito como punto final, sí incluye todos los números hasta él, y dado que el infinito y el infinito negativo continúan para siempre, el intervalo incluye todos sus puntos finales. Viéndolo de esta manera, diríamos que el intervalo está cerrado.

¿Confundido todavía? Básicamente, decimos que el intervalo, -∞ < x <∞ es tanto abierto como cerrado, y un punto final de infinito o infinito negativo puede considerarse incluido o no incluido en un intervalo.

Debido a esto, cuando tenemos un intervalo que tiene un número como uno de sus puntos finales e infinito o infinito negativo como su otro punto final, como en los intervalos tercero y cuarto enumerados, podemos decir que si el punto final del número está incluido en el intervalo , entonces el intervalo está cerrado (como en el tercer ejemplo), y si el punto final del número no está incluido en el intervalo, entonces el intervalo está abierto (como en el cuarto ejemplo).

Notación de intervalo y líneas numéricas

A menudo, los intervalos de números se expresarán utilizando notación de intervalo. Para representar un intervalo usando notación de intervalo, escribimos los puntos finales y los separamos con una coma. Si se incluye el punto final, usamos un corchete para indicarlo, y si no se incluye un punto final, usamos paréntesis para indicarlo. Cuando el infinito es un punto final, siempre usamos paréntesis.

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Por ejemplo, para el intervalo 3 ≤ x ≤ 10, escribiríamos [3, 10]. Dado que incluye sus puntos finales, es un intervalo cerrado. Para el intervalo 3 < x <10, escribiríamos (3, 10). Dado que no incluye sus puntos finales, es un intervalo abierto.

Considere el intervalo x > -2. En primer lugar, ¿este intervalo está abierto, cerrado o ambos? Si estás pensando que está abierto, ¡felicidades, tienes razón! Tiene infinito como un punto final y no incluye su otro punto final, -2, por lo que es un intervalo abierto. Ahora, representémoslo usando notación de intervalo. Primero escribimos -2 y ∞ separados por una coma:

  • -2, ∞

A continuación, simplemente determinamos si utilizar un corchete o un paréntesis en cada uno de estos puntos finales. No estamos incluyendo el punto final -2, por lo que usamos un paréntesis en este punto final, y dado que siempre usamos paréntesis en el infinito o infinito negativo, también usamos un paréntesis en ∞. Todos juntos tenemos:

  • (-2, ∞) es un intervalo abierto

Eso no es tan difícil, ¿verdad?

Resumen de la lección

Revisemos. Un intervalo es un rango de números. Un intervalo cerrado , [ a , b ], es un intervalo que incluye todos sus puntos finales, y un intervalo abierto , ( a , b ), es un intervalo que no contiene sus puntos finales. Cuando un intervalo implica infinito o infinito negativo, tenemos las siguientes reglas para determinar si es un intervalo abierto o cerrado:

  1. ( a , ∞) y (-∞, a ) son intervalos abiertos.
  2. [ a , ∞) y (-∞, a ] son ​​intervalos cerrados.
  3. (-∞, ∞) está abierto y cerrado.

Como vimos en el ejemplo del paseo en un parque de atracciones, es importante saber si los intervalos de números están abiertos o cerrados para analizar correctamente la situación en la que se está utilizando el intervalo. Por lo tanto, definitivamente debemos conservar este conocimiento para uso futuro.

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