El teorema de AAS (ángulo-ángulo-lado): prueba y ejemplos

Encontrar coincidencias

¿Por qué es importante el teorema de AAS? Bueno, ¿alguna vez jugaste al juego en el que volteas dos cartas tratando de encontrar pares iguales? Tal vez esté buscando dos imágenes de plátanos, o leones, o leones comiendo plátanos. Apuesto a que ese par es difícil de alcanzar.

Ese juego es como lo que estamos tratando de hacer aquí con triángulos. Queremos encontrar triángulos que coincidan o sean congruentes. Eso significa que tienen tres lados congruentes y tres ángulos congruentes.

Hay varias formas de determinar si dos triángulos son congruentes. Si los tres lados coinciden, lo llamamos lado-lado-lado o SSS. Si tenemos un lado, un ángulo incluido y otro lado, entonces es lado-ángulo-lado o SAS. El ángulo incluido es el ángulo entre los lados. También puede tener un ángulo, un lado incluido y otro ángulo. A eso lo llamamos, sí, ángulo-lado-ángulo o ASA.

Pero, ¿y este par? ¿Podemos usar side-side-side? No, solo sabemos que AB es congruente con XY. ¿Qué pasa con el ángulo lateral? Nuevamente, solo tenemos un lado. Todavía hay un ángulo lateral. ¿Y eso? Aún no. Con ASA, necesitamos el lado incluido o el lado entre los ángulos congruentes.

Aquí es donde entra en juego el ángulo-ángulo-lado.

El teorema de AAS

El teorema ángulo-ángulo-lado , o AAS , nos dice que si dos ángulos y cualquier lado de un triángulo son congruentes con dos ángulos y cualquier lado de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Entonces, ¿SSS, SAS, ASA y ahora AAS? Parece que nos estamos volviendo bastante liberales con lo que hace que los triángulos sean congruentes, ¿no es así? Es como jugar a un juego de cartas y decir que esta vaca y esta hamburguesa con queso coinciden porque las hamburguesas con queso están hechas de vacas. ¿Qué pensaría la vaca sobre eso?

Pero AAS tiene más sentido de lo que parece. En nuestros dos triángulos aquí, los ángulos B e Y son congruentes. Y los ángulos C y Z son congruentes. Digamos que el ángulo B es de 30 grados. Y digamos que el ángulo C es de 80 grados. ¿Qué es el ángulo A? La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180, entonces 180 menos 30 menos 80 es 70. A es 70.

Bueno, si B es 30, entonces también lo es Y. Y si C es 80, entonces también lo es Z. Eso significa que tanto A como X son 70. A y X también deben ser congruentes. Eso significa que conocemos un par de ángulos, B e Y, un lado incluido, AB y XY, y luego los ángulos del otro lado, A y X. Eso es ángulo-lado-ángulo.

Dado que los triángulos tienen tres ángulos y sus ángulos siempre suman 180, si conocemos ángulo-ángulo-lado, también conocemos ángulo-lado-ángulo. Es por eso que solo necesitamos conocer dos ángulos y cualquier lado para establecer la congruencia.

Así que AAS no es realmente como decir que una vaca y una hamburguesa con queso son pareja. En realidad, es solo otra forma de decir que dos vacas idénticas son compatibles.

Prueba de práctica

Tomemos un descanso del juego de correspondencias y veamos AAS en acción en una prueba.

Aquí tienes una pajarita. También son dos triángulos. Se nos da que NQ es congruente con OQ. También se nos da que el ángulo M es congruente con el ángulo P. ¿Podemos probar que MN es congruente con OP?

Para probar eso, queremos probar que los triángulos son congruentes. Comencemos nuestra demostración afirmando que NQ es congruente con OQ. Eso es dado. Y el ángulo M es congruente con el ángulo P. Nuevamente, eso está dado. ¿Tenemos suficiente para establecer que los triángulos son congruentes todavía? Tenemos un lado y un ángulo. Por desgracia, todavía no hemos llegado.

Pero podemos decir que el ángulo MQN es congruente con el ángulo OQP. ¿Por qué? Son ángulos verticales. Los ángulos verticales son siempre congruentes.

¡Ahora tenemos dos ángulos y un lado! Entonces podemos decir que el triángulo MNQ es congruente con el triángulo POQ debido al teorema de AAS. Y por lo tanto, MN es congruente con OP porque las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes, o CPCTC.

Encontrar congruencia

Bien, dejemos la pajarita y volvamos a nuestro juego. Intentemos encontrar algunas coincidencias e identificar cómo son congruentes.

Aquí hay dos triángulos: DEF y JKL. ¿Son partidos? Veamos. EF es congruente con KL. Eso es un par de lados. Y tenemos E congruente con K y F congruente con L, entonces dos ángulos y un lado. ¿Deberíamos usar ángulo-ángulo-lado? Bueno, esta vez tenemos el lado incluido, por lo que es más preciso ángulo-lado-ángulo.

¿Qué tal estos dos? Oh, no tenemos ángulos congruentes, ¿verdad? ¿Tenemos ángulos verticales? No. Hmm. Bueno, tenemos MN y LO y LM y NO. Entonces son dos pares de lados. Ah, y LN es congruente con LN debido a la propiedad reflexiva, que es simplemente un lenguaje matemático elegante para ‘es la misma línea’. Entonces tenemos tres lados congruentes. ¡Eso es de lado a lado!

Aquí tienes otro par. Esta vez, podemos ver que DF y RS son congruentes. También lo son DE y ST. ¿Y los ángulos D y S? Esos son los ángulos incluidos entre nuestros lados congruentes. Entonces esto es lado-ángulo-lado o SAS.

¿Qué tal uno más? Estas pirámides invertidas tienen un par de lados congruentes: AB y DE. Luego tenemos los ángulos A y D, así como los ángulos C y F. Eso es dos ángulos y un lado no incluido. Así que este es nuestro teorema del día, ángulo-ángulo-lado o AAS. ¡Somos geniales en este juego!

Resumen de la lección

En resumen, aumentamos nuestras habilidades de emparejamiento cuando intentamos encontrar triángulos congruentes. Ya conocíamos lado-lado-lado, lado-ángulo-lado y ángulo-lado-ángulo.

Aquí, aprendimos sobre el teorema de ángulo-ángulo-lado, o AAS. Este teorema establece que si dos ángulos y cualquier lado de un triángulo son congruentes con dos ángulos y cualquier lado de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Este teorema es una adaptación de ángulo-lado-ángulo, o ASA. Cuando tenemos un lado no incluido, sabemos que podría ser un lado incluido debido a que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180.

Resultado de aprendizaje

Después de ver esta lección, debería ser capaz de recordar lo que dice el teorema ángulo-ángulo-lado (AAS), entender cuándo usarlo y explicar cómo ayuda a determinar si los triángulos son congruentes entre sí.