El teorema de Pitágoras: casos recíprocos y especiales

El teorema de Pitágoras

El famoso Teorema de Pitágoras nos dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre igual a la suma de los cuadrados de los dos lados. Escrito matemáticamente en forma de fórmula con lados un y b y hipotenusa c , es un 2 + b 2 = c 2 . ¿Cómo puedes recordar esta fórmula? Puedes pensar en un triángulo rectángulo y luego imaginar un cuadrado en cada lado del triángulo. Entonces puedes decirte a ti mismo que necesitas cuadrar cada lado y los dos lados más cortos se sumarán a la hipotenusa.

Ley de los cosenos

Este Teorema de Pitágoras está vinculado a la ley de los cosenos como un caso especial. Todos los triángulos que tienen un ángulo recto son casos especiales de la ley de los cosenos. La ley de los cosenos es un 2 + b 2 – 2 * un * b * cos (theta) = c 2 , donde theta es el ángulo entre los dos lados una y b . Cuando tenemos un ángulo recto, cos (theta) se convierte en 0 y obtenemos el Teorema de Pitágoras.

a 2 + b 2 – 2 * a * b * cos (theta) = c 2

a 2 + b 2 – 2 * a * b * 0 = c 2

un 2 + b 2 – 0 = c 2

a 2 + b 2 = c 2

Conversar

Sabemos que el Teorema de Pitágoras nos dice que los triángulos rectángulos seguirán la fórmula a 2 + b 2 = c 2 . Pero lo contrario de esta afirmación también es cierto. También podemos decir que si un triángulo sigue la fórmula a 2 + b 2 = c 2 , entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Usando el Converse

El inverso del Teorema de Pitágoras es útil cuando necesitamos identificar triángulos rectángulos. A veces queremos saber con certeza que un triángulo en particular es un triángulo rectángulo. Podemos aplicar el inverso del Teorema de Pitágoras y ver si las medidas de nuestro triángulo se ajustan a la fórmula. Veamos cómo podemos hacer esto.

Digamos que eres arquitecto y tu jefe necesita que averigües si un triángulo en particular en un proyecto de construcción es un triángulo rectángulo o no. Puedes aplicar el inverso del Teorema de Pitágoras para resolver el problema. Primero le pide a su jefe las medidas de los lados para tener todos los datos que necesita. Luego, escribe la fórmula del Teorema de Pitágoras. Recuerda que es a 2 + b 2 = c 2 . Entonces te dices a ti mismo que lo contrario es cierto; que si los números se ajustan a la fórmula, entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo. Entonces, su jefe le ha dado 2.2 y 4.4 para los dos lados y la raíz cuadrada (24.2) para la hipotenusa. Ahora, lo que debe hacer es insertar estos números en la fórmula para verificar.

2.2 2 + 4.4 2 = (raíz cuadrada (24.2)) 2

4,84 + 19,36 = 24,2

24,2 = 24,2

Parece que el cálculo es un éxito y el triángulo en cuestión es de hecho un triángulo rectángulo. Informe esto a su jefe, diciéndole que está bien continuar con el proyecto.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que el Teorema de Pitágoras nos dice que para todos los triángulos rectángulos, el cuadrado de la hipotenusa es siempre igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados . El Teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos, a 2 + b 2 – 2 * a * b * cos (theta) = c 2 porque cos (theta) = 0 cuando el ángulo es de 90 grados o ángulo recto. También aprendimos que la recíproca del Teorema de Pitágoras también es cierta. Podemos decir que si los lados de un triángulo se ajustan a la fórmula a 2 + b 2 = c 2, entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo. Podemos usar esta información para ayudarnos a identificar triángulos rectángulos.

Los resultados del aprendizaje

Explore la información de esta lección en video si sus objetivos son:

• Enuncie el teorema de Pitágoras
• Escribe y recuerda la fórmula del Teorema de Pitágoras.
• Transmita su conocimiento de que el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
• Determina si un triángulo es un triángulo rectángulo cuando conoces las medidas de los lados

Rodrigo Ricardo Editor y fundador