Encontrar límites de sumas, diferencias, productos y cocientes
Limites
Suponga que está enfermo y toma 50 mg de un medicamento para ayudarlo a mejorar. Se le dice que el medicamento sale de su cuerpo de tal manera que la cantidad en su sistema se reduce a la mitad cada 4 horas. Esto se puede modelar mediante la siguiente función, donde x es el número de horas que han pasado desde que tomó el medicamento.
A ( x ) = 50 (1/2) x / 4
Esto nos dice que comienza con 50 mg en su sistema y después de 4 horas, quedan 50/2 = 25 mg. Después de 8 horas, quedan 25/2 = 12,5 mg en su sistema. Después de 12 horas, quedan 12,5 / 2 = 6,25 mg. Este patrón se continúa hasta que el fármaco sale de su sistema.
¡Espera un minuto! Si la cantidad de fármaco se sigue reduciendo a la mitad de esta manera, ¿cómo llegará realmente a cero la cantidad de fármaco en su sistema? ¿Alguna vez se eliminará completamente la droga de su sistema?
La respuesta a este enigma radica en los límites. En matemáticas, el límite de una función es un valor al que la función se acerca cuando x se acerca a algún valor. Usamos la siguiente notación y lenguaje para expresar un límite.
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En nuestro ejemplo, tenemos que la cantidad de medicamento en su sistema se acerca cada vez más a cero a medida que pasa más tiempo desde que tomó el medicamento, por lo que el límite de la función A cuando x se acerca al infinito es cero.
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Los límites se utilizan para responder paradojas matemáticas, como nuestro ejemplo de drogas, y otras preguntas matemáticas que pueden surgir en la vida cotidiana.
A menudo, queremos tomar el límite de una combinación de funciones. En otras palabras, es posible que deseemos encontrar el límite de una suma, diferencia, producto o cociente de funciones. Afortunadamente, las reglas para encontrar estos límites son bastante sencillas y fáciles de recordar. Echemos un vistazo a la regla para cada uno de estos tipos de límites.
Límites de combinaciones de funciones
Cuando se trata de tomar el límite de una suma, diferencia, producto o cociente, básicamente dividimos el límite usando la operación indicada. Es decir, el límite de una suma, diferencia, producto o cociente de funciones es la suma, diferencia, producto o cociente de los límites de las funciones, respectivamente. Veamos cada uno de estos casos individualmente.
Suma
El límite de una suma de funciones es la suma de los límites de esas funciones.
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Por ejemplo, suponga que queremos encontrar el límite de 2 x 2 + x cuando x se acerca a 5. Simplemente dividimos el límite de la suma en la suma de los límites.
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Vemos que el límite de 2 x 2 + x cuando x se acerca a 5 es 55.
Diferencia
El límite de una diferencia de funciones es la diferencia de los límites de las funciones.
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Como ejemplo, considere el límite de 3 x – 8 cuando x se acerca a 1. Dividimos el límite en la diferencia de los límites de 3 x y 8 cuando x se acerca a 1.
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Vemos que el límite de 3 x – 8 cuando x se acerca a 1 es -5.
Producto
Probablemente esté viendo un patrón ahora, y tomar el límite de un producto de funciones sigue exactamente el mismo patrón. Para tomar el límite de un producto de funciones, tomamos el producto de los límites de las funciones.
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Por ejemplo, suponga que queremos encontrar el límite de ( x + 8) ( x – 7) cuando x se acerca a 2. Descomponemos el límite en el producto de los límites de x + 8 y x – 7 cuando x se acerca a 2.
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Obtenemos que el límite de ( x + 8) ( x – 7), cuando x se acerca a 2, es -50.
Cociente
El último límite que queremos ver es el límite de un cociente de funciones. Este no se diferencia de los demás en que el límite de un cociente f ( x ) / g ( x ) es el cociente de los límites. Sin embargo, tenemos que agregar la estipulación de que el límite de g ( x ) no puede ser cero: de lo contrario, esto crearía un denominador cero.
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Veamos un ejemplo de esto. Suponga que queremos encontrar el límite de 2 x / (4 – x ), cuando x se acerca a 3. Usamos la regla para dividir el límite en un cociente de límites.
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Vemos que el límite de 2 x / (4 – x ), cuando x se acerca a 3, es 6.
Usamos ejemplos simples para ilustrar cada regla, pero tenga en cuenta que puede usar dos o más de estas reglas juntas para encontrar límites de funciones más complicadas.
Resumen de la lección
El límite de una función es un valor al que la función se acerca cuando x se acerca a algún valor. Usamos la siguiente notación y lenguaje para representar límites.
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A menudo, queremos encontrar el límite de una combinación de funciones. Es decir, queremos encontrar el límite de una suma, diferencia, producto o cociente de funciones. Las reglas que usamos para encontrar estos límites son muy sencillas, ya que para encontrar el límite de una suma, diferencia, producto o cociente de funciones, simplemente tomamos la suma, diferencia, producto o cociente de los límites de esas funciones, respectivamente.
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Eso no es tan difícil, ¿verdad? Vemos que encontrar este tipo de límites es bastante fácil y las reglas involucradas son bastante fáciles de recordar. Sigamos adelante y agreguemos estas reglas a nuestra gran cantidad de operaciones matemáticas que podemos usar para resolver problemas en nuestra vida diaria.
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