Pendientes y áreas
Supongamos que estamos parados en una colina. Dejamos una pelota en el suelo y la dejamos rodar por la pendiente. Podríamos trazar esta pendiente en una gráfica como qué tan abajo se mueve la pelota en relación con qué tan lejos se mueve hacia el lado. Esto se conoce como derivada . Ahora determinemos el área de la sección transversal entre la pendiente y la superficie nivelada en la parte inferior de la colina. Esto representa la integral . El diagrama 1 muestra la relación entre derivadas e integrales.
 |
Echemos un vistazo más de cerca a cómo se relacionan las derivadas e integrales y centrémonos en integrales definidas.
Integrales definidas
Echemos un vistazo al Diagrama 1 modificado (lo llamaremos Diagrama 2) y centrémonos en el área debajo de la línea inclinada, que representa la integral definida. Una integral definida es el área entre la gráfica de una ecuación derivada y el eje x delimitado por dos coordenadas x.
Tipos de Cambio Flexible: Qué es, Características y Ejemplos
 |
Podemos ver en el Diagrama 2 que la integral definida es el área entre la línea inclinada (derivada) y el eje x entre las coordenadas x-coordenada 1 y x-coordenada 2. El pequeño rectángulo negro es uno de una enorme cantidad de rectángulos que son alineados uno al lado del otro rellenando esta área. Sus anchos son dx . Podemos representar cómo determinar esta área usando la expresión
 |
donde x 2 y x 1 son los límites a lo largo del eje x anteriormente llamados coordenadas x 1 y 2. Básicamente, esta notación nos dice que sumemos todas las áreas de los rectángulos con anchos dx desde x 2 hasta x 1 . Trabajemos este ejemplo usando valores reales.
La ecuación de nuestra línea inclinada es y = -2x + 4. Determinemos el área entre esta línea y el eje x entre x = 0 y x = 2.
Tipos de Cambio Flotante: Qué es, Características y Ejemplos
 |
La expresión formal de esta operación es
 |
Dado que estamos invirtiendo una derivada, aumentamos la potencia del exponente en 1 y luego lo dividimos por ese nuevo valor. Esto nos da
 |
que simplifica a
Tasa Variable: Qué es, Características y Ejemplos
 |
Ahora escribimos la expresión para la evaluación de (-x 2 + 4x) entre x = 0 y x = 2, que es
 |
Ahora conectamos el límite superior que nos da
 |
Luego restamos 0 insertado en la expresión, lo que no cambia nuestro valor anterior de 4. Obtengamos esta área entre la línea inclinada y el eje x entre x = 0 y x = 2 usando el área de un triángulo rectángulo ya que es la forma de esta área.
 |
¡Observe que obtenemos el mismo valor! Esto prueba que una integral es la tasa de cambio de una cantidad en un intervalo a lo largo del eje x.
Resumen de la lección
Una tasa de cambio se define como una derivada o la pendiente de una línea en un gráfico. Una integral es lo opuesto a una derivada y es la tasa de cambio de una cantidad en un intervalo a lo largo del eje x. Una integral definida es el área entre la ecuación de la derivada y el eje x entre dos límites en el eje x.
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
