La interpretación geométrica del cociente de diferencias

Una función

En esta lección en video, comenzamos con una función. Veamos la función f ( x ) = x – 3. Si la graficamos, ¿qué obtenemos? De sus estudios anteriores sobre funciones, se da cuenta de que obtendrá una línea recta.

Gráfica de f (x) = x – 3

Dado que estamos estudiando precálculo en este momento, estamos en camino de trabajar más extensamente con estas funciones. Esto es exactamente lo que vamos a hacer en esta lección. Vamos a manipular nuestra función utilizando el cociente de diferencias .

Cociente de diferencias

El cociente de diferencias toma dos puntos de nuestra función, los puntos ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x + h )), y los inserta en esta fórmula:

Debido a que ahora nos hemos movido más allá del álgebra, dejamos las variables x y h como están. Cuando conectamos estos puntos a nuestra fórmula, los mantenemos como están. No los reemplazaremos con números. Esperaremos obtener una respuesta que probablemente contenga estas variables. A veces, nuestra respuesta funcionará de manera que obtengamos un buen número, pero la mayoría de las veces obtendrá una respuesta con variables. Entonces, siempre que mantenga sus términos similares juntos, estará bien.

Interpretación geométrica

Esta fórmula del cociente de diferencias puede parecer complicada, pero en realidad no lo es. Déjame mostrarte lo que significa desde un punto de vista geométrico. Podemos trazar dos puntos aleatorios en nuestra gráfica. El primer punto será el punto ( x , f ( x )). El siguiente punto será el punto ( x + h , f ( x + h )).

Ahora, si dibuja una línea a través de estos dos puntos, obtendrá lo que se llama una línea secante. La fórmula para el cociente de diferencias te da la pendiente de esta recta secante. Recuerde que la pendiente se eleva sobre la corrida. Entonces, la parte del numerador del cociente de diferencias te da el aumento mientras que el denominador te da la carrera. La h aquí representa la distancia a la que corre y no la altura.

Cociente de diferencias

En nuestra función de ejemplo, la pendiente de esta recta secante resulta ser la misma que la pendiente de nuestra función. Dibujar una línea a través de estos dos puntos nos da la misma línea que nuestra función. Sin embargo, si nuestra función produjera una gráfica curva, nuestra línea secante cruzaría nuestra función. No obtendríamos la misma pendiente que nuestra función.

Ejemplo

Sigamos adelante y calculemos el cociente de diferencias con nuestra fórmula f ( x ) = x – 3. Conectamos nuestros puntos siguiendo la fórmula: (( x + h – 3) – ( x – 3)) / h . Simplificando, obtenemos ( x + h – 3 – x + 3) / h = h / h = 1. Obtenemos 1 para nuestra respuesta.

Ya comentamos cómo, para nuestra función, el cociente de diferencias nos dará la misma pendiente que nuestra función. Entonces, ¿es esta la misma pendiente que nuestra función? Sí lo es. Nuestra función también tiene una pendiente de 1. Lo hicimos. Encontramos el cociente de diferencias. En este caso, nuestra respuesta es solo un número, pero no deberíamos esperar obtener siempre una respuesta sin variables en ella.

Resumen de la lección

Ahora repasemos.

El cociente de diferencias toma dos puntos de nuestra función, los puntos ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x + h )), y los inserta en esta fórmula:

La interpretación geométrica de este cociente de diferencias es la pendiente de la recta secante que pasa por los dos puntos ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x + h )).

Cuando seguimos adelante y calculamos el cociente de diferencias, mantenemos las variables como están. Esperamos obtener una respuesta con variables. Pero a veces, es posible que obtengamos una respuesta sin ninguna variable en ella.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, debería tener la capacidad de:

• Describe el cociente de diferencias e identifica su fórmula.
• Explica la interpretación geométrica del cociente de diferencias.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador