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Longitud de arco de un sector: definición y área

Publicado el 22 septiembre, 2020

Círculos

Si eres como yo, piensas a menudo en la pizza. Y con la pizza, hay mucho que considerar. Corteza fina o plato hondo. Pepperoni o verduras. Copos de pimiento rojo espolvoreados encima o una cantidad ridícula de hojuelas de pimiento rojo vertidos encima. Mmm, sabroso y ardiente.

Ahora, la mayoría de las pizzas son círculos. Y los círculos son geometría. Entonces, ¿por qué no contemplar la geometría mientras comes pizza? Todavía no es saludable para tu cuerpo, ¡pero al menos puede ser bueno para tu cerebro!

¿Qué es un sector?

¿Esa porción de pizza? Eso se llama sector. Un sector es parte de un círculo encerrado por dos radios y el arco de conexión. Puede tener un sector de porción de pizza normal, o puede tener un sector de porción de pizza gigantesco. La clave es que toca el centro del círculo y está limitado por las dos líneas de radio.

Todos los sectores tienen un ángulo central. Este es el ángulo que el sector subtiende con el centro del círculo. Sabemos que hay 360 grados en un círculo, por lo que el ángulo central será una subsección de eso. En este corte, son 45 grados:


El ángulo central aquí es de 45 grados.
rebanada de pizza ángulo de 45 grados

En este, son 90:


El ángulo central aquí es de 90 grados.
Rebanada de pizza de ángulo central de 90 grados

Ese es un sector especial conocido como cuadrante. ¿Consíguelo? ‘Quad-‘ significa 4, y esto es un cuarto del círculo. En nuestra rebanada de media pizza a continuación, es de 180 grados. Ese es un sector especial llamado semicírculo.


Este es un sector especial llamado semicírculo.
pizza en forma de semicírculo

También podemos mirarlo en radianes en lugar de grados. Un radianes es solo una forma diferente de medir un ángulo. Un radianes es lo que obtienes cuando tomas el radio del círculo y lo colocas en la circunferencia.

Área del sector – Ángulo central

Entonces, digamos que tiene su porción de pizza de tamaño normal y desea saber su área. El área de un sector se puede encontrar de dos formas diferentes, dependiendo de lo que sepa. Siempre necesitará conocer el radio. Recuerde, el radio es la mitad del diámetro. Entonces, en una pizza de 12 pulgadas, el radio es de 6 pulgadas.

Si quisiéramos el área de todo el círculo, es π * r 2 . ¿Para el semicírculo? 1/2 * π * r 2 , ya que es la mitad del círculo. El principio del área de un sector sigue esta misma lógica. Simplemente tomamos la fórmula del área del círculo y la multiplicamos por una fracción que representa nuestro sector.

Si conoce el ángulo central, el área es ( n / 360) * π * r 2 , donde n es el número de grados en el ángulo central. Entonces, digamos que nuestro sector tiene un ángulo de 23 grados. Conectemos eso a la fórmula de nuestra rebanada con un radio de 6 pulgadas. Su área es (23/360) * π * 6 2 . Eso es 7.2 pulgadas cuadradas.

Si conocemos el ángulo en radianes, es aún más sencillo. Sigue la misma lógica. Comenzamos con π * r 2 . Un círculo tiene un ángulo total de 2 * π. Entonces, si llamamos a nuestro ángulo theta, entonces el equivalente de n / 360 es (theta) / (2 * π). Reemplaza eso en la misma fórmula: ((theta) / (2 * π)) * π * r 2 . Eso se simplifica a ((theta) / 2) * r 2 . Entonces, si nuestro ángulo es .4 radianes, entonces tenemos (.4 / 2) * 6 2 . Nuevamente, obtenemos 7.2 pulgadas cuadradas.

Longitud de arco

Esto funciona si conocemos el ángulo central. Pero ¿y si no lo hacemos? Entonces necesitamos saber la longitud del arco. La longitud del arco es la distancia a lo largo del arco o circunferencia del círculo. Escribimos esto como LAB.

Si necesita encontrar el área de un sector usando la longitud del arco, se le dará esa distancia. Pero debes saber que puedes resolverlo si tienes el ángulo central. Simplemente tomamos la fórmula de la circunferencia (2 * π * r ) y la multiplicamos por n / 360, por lo que es 2 * π * r * ( n / 360). Eso parece familiar, ¿no? Es lo mismo que la fórmula del área de un sector, simplemente intercambiando la circunferencia por el área.

En radianes, es aún más sencillo. Nuevamente, un radianes es lo que obtienes cuando tomas el radio de un círculo y lo colocas en la circunferencia. Entonces, está directamente relacionado con la circunferencia. Por lo tanto, la longitud del arco en radianes es r * C , donde r es el radio y C es el ángulo central en radianes.

Área del sector: longitud del arco

Bien, ahora averigüemos el área de un sector usando la longitud del arco. Nuevamente, esto es útil si se le da el radio y la longitud del arco, pero no el ángulo central. Aquí, el área de un sector es solo 1/2 * r * L , donde r es el radio y L es la longitud del arco. ¿Cómo puedes recordar esto? Simplemente tome su sector o porción de pizza y gírelo de esta manera:


Un sector se parece a un triángulo, lo que puede ayudarte a recordar la fórmula.
imagen de rebanada de pizza triangular

¿Cómo se ve eso? ¡Un triángulo! ¿Y cuál es la fórmula del área de un triángulo? 1/2 * base * altura. Eso se parece mucho a 1/2 * radio * longitud de arco, ¿no?

Volvamos a nuestra porción de pizza. Digamos que el radio es de 5 pulgadas y la longitud del arco es de 4 pulgadas. Simplemente conéctelo a 1/2 * r * L , y obtenemos 1/2 * 5 * 4. Eso va a ser de 10 pulgadas cuadradas.

Resumen de la lección

En resumen, aprendimos sobre sectores y longitudes de arco. Un sector es básicamente su porción de pizza, o la sección de un círculo limitado por dos radios y un arco, que es la parte de la circunferencia entre las líneas de radio.

Si conocemos el radio y el ángulo central, o el ángulo formado por los radios, podemos encontrar el área del sector convirtiendo la fórmula del área de un círculo. Si usamos grados, es n / 360 (donde n es el número de grados) multiplicado por pi multiplicado por el radio al cuadrado. Si usamos radianes, es solo theta dividido por 2, donde theta es el ángulo central en radianes, multiplicado por el radio al cuadrado.

Luego miramos las longitudes de arco. Puede encontrar la longitud del arco convirtiendo la fórmula de la circunferencia. Con un ángulo central en grados, es 2 veces pi por el radio (esa es la fórmula de la circunferencia) por n / 360, donde n es el ángulo central. Con radianes, es sólo el radio por el ángulo, o R * C .

Para encontrar el área de un sector usando la longitud del arco, encuentra 1/2 veces el radio por la longitud del arco. Esto es muy similar a la fórmula del área de un triángulo.

También justificamos comer pizza como ejercicio mental. Siéntete libre de decirte eso la próxima vez que tomes una rebanada.

Los resultados del aprendizaje

Estudiar esta lección podría brindarle la capacidad de:

  • Definir sector, longitud de arco y ángulo central
  • Encuentre el área de un sector usando la longitud del arco o convirtiendo el área de un círculo fórmula

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