Minería de datos: identificación de funciones a partir de gráficos derivados

Revisión rápida

¿Qué podemos aprender de la derivada de una función? Bueno, repasemos. La derivada de una función es la pendiente de esa función; en realidad, la pendiente de la tangente de la función. Si la derivada es positiva, entonces la función aumenta. Si la derivada es negativa, la función es decreciente. Si la derivada es cero, entonces su función podría estar en un mínimo o un máximo, pero de cualquier manera no cambiará.

La segunda derivada es la pendiente de la primera derivada y la segunda derivada te dice un poco sobre la concavidad de tu función. Si la segunda derivada es positiva, tienes una taza (algo que es cóncavo ). Si la segunda derivada es negativa, tienes el ceño fruncido (algo cóncavo hacia abajo ). Si la segunda derivada es cero, entonces podría estar en un punto de inflexión si va entre una región que es cóncava hacia arriba y otra que es cóncava hacia abajo.

Coincidir con el gráfico

Intentemos ponerlos en práctica. Digamos que tiene tres gráficas derivadas diferentes, todas sin números, y se ven así. Tienes tres posibles gráficas de f . Di que tienes estos aquí. Ahora establezcamos nuestro objetivo de hacer coincidir la derivada con su función original, o al menos una posibilidad para su función original.

Cuando y aumenta, una región de la función es cóncava hacia arriba

Gráfico # 1

Echemos un vistazo a este primer gráfico. Hay dos puntos de este gráfico que pueden destacarse como importantes. Tenemos y` en función de x . Para valores pequeños de x , y` es constante. No solo es constante, sino que es igual a cero. Para valores grandes de x , y` es positivo y creciente. ¿Qué significan estas dos cosas? Bueno, cuando y` es constante en cero, entonces mi función no cambiará. Cuando y` está aumentando, entonces sé que mi segunda derivada será positiva y tengo una región donde mi función será cóncava; se verá como una taza.

Así que echemos un vistazo a nuestras tres posibilidades para nuestra función, y veamos cómo coinciden con cada uno de estos dos puntos que hemos resaltado. Primero, veamos si alguno de ellos tiene un valor constante para valores más pequeños de x , porque y` es cero para valores más pequeños de x . Esta primera función: No, obviamente no es una constante. Esta segunda función, bueno, es una constante. No sé cuál es el valor, pero es constante; no está cambiando, así que esa es una posibilidad. La tercera función: No; de nuevo, esto no es una constante. Está aumentando, así que esto tampoco puede funcionar. Así que ahora parece que vamos a elegir este segundo gráfico. Pero para estar seguros, echemos un vistazo al segundo punto,aumenta para valores mayores de x . Tenemos algo que va a ser cóncavo para valores más grandes de x .

Nuestro primer gráfico es cóncavo hacia arriba para valores mayores de x ; esto parece una taza aquí, así que hubiera estado bien. Nuestro segundo gráfico también está aumentando; esto también es una taza para valores mayores de x . Nuestro tercer gráfico es constante; eso no es una taza. No sé quién puso ese gráfico aquí. Nuestra primera posibilidad de f coincidía con una de las dos cosas que necesitábamos. Sin embargo, nuestro segundo gráfico coincidió con ambos. Tenía un valor constante para valores más pequeños de x , y era cóncavo para valores más grandes de x . Entonces voy a decir que nuestro primer gráfico derivado, aquí, coincide con nuestra segunda función, aquí.

Gráfico # 2

Echemos un vistazo a nuestro segundo gráfico. Nuestro segundo gráfico tiene algunos puntos más que podrían ser de interés. Primero, tenemos dos lugares en este gráfico donde y` es igual a cero, por lo que tenemos dos lugares donde podríamos tener un mínimo o un máximo. Bien, eso es algo bueno a tener en cuenta. En segundo lugar, para valores pequeños de x , y` es decreciente. Eso significa que tenemos algo que es cóncavo hacia abajo, porque y ‘ ‘ , nuestra segunda derivada, será menor que cero; tenemos el ceño fruncido. Para valores mayores de x , y`(nuestra derivada, este gráfico aquí) está aumentando, y dado que la derivada está aumentando, la segunda derivada será positiva para todos estos valores. Esto significa que nuestra función original será cóncava. Entonces estamos buscando algo que sea cóncavo hacia abajo en la primera mitad y cóncavo hacia arriba en la segunda mitad, por lo que parece un ceño fruncido en la primera mitad y una taza en la segunda mitad, y posiblemente tenga un máximo o mínimo en estos. dos puntos intermedios.

Los dos puntos donde y es igual a cero significa que puede haber un mínimo o un máximo

Así que miremos. Primero veamos estos puntos donde y` es igual a cero. En nuestro primer gráfico, y` sería igual a cero en aproximadamente estos dos puntos. Bueno, eso es un máximo y un mínimo, así que nuestra tangente aquí será cero en ambos puntos, así que esto podría funcionar. El segundo, está bien, bueno, y` es cero en este primero, estoy de acuerdo con eso. La tangente aquí será cero. Pero para este segundo la tangente no es cero, por lo que uno realmente no funciona. Para el tercero, la tangente no es cero en el primer punto, pero es cero en el segundo punto. Entonces, lo que tenemos es que el primer gráfico tiene dos puntos que coinciden, el segundo gráfico tiene uno de dos puntos y el tercer gráfico tiene uno de dos puntos.

Pero veamos la concavidad de estos tres gráficos. Aquí, la primera mitad es cóncava hacia abajo, es un ceño grande, así que eso funciona. La segunda mitad es cóncava, parece una taza; eso es exactamente lo que queríamos. Este primer gráfico podría funcionar, pero ¿qué pasa con el segundo gráfico? Se supone que esta primera parte del gráfico es cóncava hacia abajo; se supone que debe verse como un ceño fruncido. Pero es constante, por lo que no funciona. Se supone que la segunda parte del gráfico es cóncava. Bueno, esto en realidad parece cóncavo, pude ver que es una taza, así que podría funcionar. Se supone que el tercer gráfico es cóncavo hacia abajo durante la primera mitad y cóncavo hacia arriba durante la segunda mitad, y no es ninguno. Tiene líneas rectas: no veo tazas, no veo fruncir el ceño, no veo nada.

Una vez más, nuestro primer gráfico coincidió con la concavidad en ambas regiones, nuestro segundo gráfico coincidió con la concavidad en una región y nuestro tercer gráfico no coincidió con ninguna de las concavidades. Así que juntemos todo esto: la concavidad y los puntos donde nuestra derivada será igual a cero. Nuestro primer gráfico coincide con todos los puntos, nuestro segundo gráfico coincide con un par de puntos pero no todo, y nuestro tercer gráfico es … ¿quién puso eso aquí? Entonces, obviamente, nuestra primera gráfica nos dará la mejor estimación de nuestra función para esta segunda gráfica derivada aquí.

Gráfico # 3

y es constante para valores pequeños y grandes de x en este gráfico

Ahora veamos el último gráfico. El proceso de eliminación nos diría qué gráfico es este, pero vamos a resolverlo. Una vez más, tenemos dos cosas que debemos tener en cuenta con este primer gráfico derivado. Primero, y` va a ser constante tanto para valores pequeños como grandes de x . Sin embargo, para valores pequeños de x , es un número positivo y para valores grandes de x es cero.

Bien, busquemos una gráfica que tenga una pendiente constante para valores pequeños de x y pendiente cero para valores grandes de x . Nuestra primera función está cambiando en todas partes; la derivada nunca es constante, por lo que simplemente vamos a quitar eso de consideración. Nuestro segundo gráfico tiene una constante para valores pequeños de x , pero para valores grandes de x está cambiando; nuestra derivada no es constante. El otro punto es que en este gráfico, para valores pequeños de x , nuestra y es realmente constante. No solo es una derivada constante, sino que esa derivada es cero, por lo que ya estamos cuestionando si esta segunda gráfica funcionaría o no.

¿Hay alguna opción mejor? Bueno, veamos el tercer gráfico. El tercer gráfico son dos líneas rectas. Tengo una pendiente constante para valores pequeños de x , y es una pendiente positiva, por lo que tiene sentido. Para valores grandes de x , no solo tengo una pendiente constante, sino que esa pendiente es cero, y eso también tiene sentido. Entonces, obviamente, nuestro tercer gráfico de la derivada aquí será nuestro tercer gráfico en el lado derecho, nuestra tercera función. Pongamos todos estos juntos, y encontramos que así es como emparejarías las derivadas con la función original.

Resumen de la lección

Así que recapitulemos una vez más. Puede encontrar mucha información sobre una función con solo mirar su derivada. Hay algunas cosas que querrás tener en cuenta. Debes saber que la derivada es la pendiente de una función y debes saber qué significa cuando la derivada es positiva o negativa. También debes saber que la segunda derivada es la pendiente de la derivada y te dice algo sobre la concavidad de una función, ya sea que sea cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Pero cuando intenta hacer coincidir derivadas con las funciones originales, o está tratando de extraer una función basada en su derivada, querrá observar ciertas características. ¿Cuándo es f` igual a cero? ¿Es constante? ¿Cuándo es f » igual a cero? ¿Es constante? Una vez que pueda señalar estas pequeñas características, será mucho más fácil estimar en qué se basa la función en función de su derivada.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador