Notaciones para la derivada de una función

Derivada de funciones

Las carreteras tienen muchas frases para lo mismo: una rotonda, una rotonda, una rotonda y una circular de sentido único. Podría marear a una persona.

De manera similar, existen varias notaciones para la derivada de una función . La derivada de una función es en sí misma una función que representa la pendiente de la recta tangente a la función original.

¿Por qué tenemos diferentes notaciones para lo mismo? Respuesta: razones históricas, incluidas ventajas, desventajas y preferencias simples. Afortunadamente, las distintas notaciones son equivalentes y estar familiarizado con ellas proporciona claridad. Es mejor que dar vueltas en círculos.

Notaciones para la derivada

Es habitual utilizar la letra f para una función . Por ejemplo, f = 2 x 2 + 3 es una función. También podríamos escribir f ( x ) = 2 x 2 + 3 mostrando f como una función de la variable independiente x . ¿Qué tal y = 2 x 2 + 3? Escribir y para f ( x ) identifica y como la variable dependiente . ¡Muchas opciones! Nos quedaremos con las formas f y f ( x ) en esta lección.

El símbolo con flechas izquierda y derecha significa «es equivalente a».

Si la función se escribe como f, entonces:

Lea esto como «dfdx es equivalente af primo es equivalente a D f». A veces, la última parte se lee » cap (ital) D f ».

Si la función se escribe como f ( x ), entonces:

Hay otra notación cuando la variable independiente x es el tiempo t :

Lea esto como «dfdt es equivalente af primo es equivalente a D f es equivalente af punto».

Si la función se escribe como f ( t ), entonces:

Continuemos aclarando estas ideas.

Perspectiva histórica y ejemplos

Los «cuatro grandes» contribuyentes a la invención, desarrollo y notación de la derivada son Newton, Leibniz, Euler y Lagrange. El período de tiempo es desde el nacimiento de Newton en 1642 hasta la muerte de Lagrange en 1813. Existe una superposición en sus vidas, e incluso sin la tecnología de comunicación moderna, su proximidad geográfica a menudo hizo posible las discusiones compartidas.

Aquí hay una descripción general de cada gran matemático y su contribución a la notación derivada.

Notación de Leibniz

El barón alemán Wilhem Gottfried von Leibniz vivió entre 1646 y 1716. Su colaborador más cercano habría sido Newton, a unas 541 millas de distancia a través del Canal de la Mancha. La notación derivada que honra a Leibniz es una notación de uso frecuente.

Ex. Para f ( x ) = 2 x 2 + 3, la siguiente derivada se expresa en notación de Leibniz :

Para mayor claridad, la f ( x ) se puede desplazar hacia un lado:

Recuerde que la segunda derivada es la derivada tomada dos veces. Usando la misma función para f ( x ), así es como Leibniz escribiría la segunda derivada:

Para derivadas de orden superior, simplemente use números más grandes. En general, para una enésima derivada de f ( x ) en notación de Leibniz:

Notación de Lagrange

El italiano Guiseppe Luigi Lagrangia, también conocido como conde Joseph Louis Lagrange, vivió de 1736 a 1813. Tanto Newton como Leibniz habían muerto medio siglo antes del nacimiento de Lagrange. Sin embargo, un genio de las matemáticas contemporáneo habría sido Euler. Durante sus prolíficas carreras científicas, hubo una gran oportunidad de colaboración. De hecho, Lagrange sucedió a Euler como director de la Academia de Berlín en 1766, donde Euler había trabajado desde 1741. Por cierto, Leibniz fundó la Academia de Berlín en 1700.

Ex. Para f ( x ) = 2 x 2 + 3, la siguiente derivada se expresa en notación de Lagrange :

La notación de Lagrange a menudo se denomina notación prima . Una segunda derivación usa dos números primos:

Después de tres números primos, empezamos a quedarnos sin espacio. Una solución es utilizar números romanos en lugar de números primos. Otra solución es expresar la enésima derivada usando una n entre paréntesis donde normalmente aparecería el primo:

Notación de Euler

El suizo Leonhard Euler (pronunciado «engrasador») vivió de 1707 a 1783. Tuvo una influencia muy positiva en muchos matemáticos y científicos, incluido Lagrange. La notación de Euler para la derivada usa una letra D mayúscula.

Ex. Para f ( x ) = 2 x 2 + 3, la siguiente derivada se expresa en notación de Euler :

La segunda derivada se escribe como:

A continuación se encuentra la enésima derivada en notación de Euler:

Notación de Newton

Sir Isaac Newton de Inglaterra vivió de 1642 a 1727. A pesar de que el matemático «Cuatro Grandes» más cercano a Newton era Leibniz, al otro lado del Canal de la Mancha, estos dos lograron tener una disputa histórica sobre quién inventó el cálculo. Al parecer, lo hicieron de forma independiente (lo que no calmó la disputa).

La notación de puntos de Newton para la derivada del tiempo es muy popular:

Ex. Para f ( t ) = 2 t 2 + 3, la siguiente derivada se expresa en notación de Newton :

La segunda derivada temporal:

Rara vez vamos más allá de dos puntos con la notación de Newton. Un punto de x da velocidad y dos puntos de x dan aceleración. No hay mucha necesidad de tomar derivadas de tiempo más alto.

Hicimos un gran bucle alrededor del historial y las notaciones de la derivada. Ahora, ¿dónde está esa salida que debemos tomar?

Resumen de la lección

Una función establece la receta matemática para procesar una variable independiente como x o t . El resultado de seguir la receta produce una variable dependiente que generalmente se llama y .

La derivada de una función es en sí misma una función que da la pendiente de la recta tangente a la función. La segunda derivada es la derivada de la primera derivada.

Cuatro notaciones derivadas populares incluyen: la notación de Leibniz , la notación de Lagrange , la notación de Euler y la notación de Newton . La notación de Leibniz tiene formato ad / d x . Una notación prima caracteriza la notación de Lagrange, y una D mayúscula se usa en la notación de Euler. Cuando la variable independiente es el tiempo t, a menudo se usa la notación de Newton. La notación de Newton a menudo se denomina notación de puntos .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador