¿Qué es un número perfecto?
Desde los albores de las matemáticas, la gente ha estado fascinada con los patrones que se pueden encontrar en el sistema numérico. Al explorar estos patrones, los matemáticos descubrieron que algunos números en realidad equivalen a la suma de sus divisores (excluyendo el número en sí). Desde su primer descubrimiento hace más de 2000 años, se han identificado 48 de estos números especiales, llamados números perfectos. Ahora, antes de que pongan los ojos en blanco ante la lección de historia que les acabo de dar, les prometo que es realmente genial una vez que vean algunos de estos números perfectos en acción.
Un numero perfectoes un número positivo que es igual a la suma de sus divisores, excluyéndose a sí mismo. Esto también se conoce como su suma alícuota. En este momento, se desconoce cuántos números perfectos existen realmente en nuestro sistema numérico. Si bien hemos descubierto 48 números perfectos, el hecho de que haya una cantidad infinita de números primos nos lleva a creer que podría haber una cantidad infinita de números perfectos. Esto puede parecer un poco confuso ahora, ya que realmente no hemos hablado sobre cómo se relacionan los números primos con los números perfectos, pero no se preocupe. Todo tendrá sentido una vez que analicemos la fórmula utilizada para encontrar este patrón y cómo se aplica para encontrar números perfectos. También es interesante notar que todos los números perfectos que se han descubierto son números pares. Al igual que con la incertidumbre sobre cuántos números perfectos existen,
Los primeros cuatro números se remontan a la época de Euclides hace más de 2.000 años. Estos números son 6, 28, 496 y 8.128. Esta tabla muestra cada número perfecto y la suma de sus divisores.
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Si observa los cuatro números perfectos anteriores, es posible que comience a notar un patrón. Comenzando con el divisor de 1, cada número perfecto comienza con una serie de potencias de 2.
Recuerde, 1 es lo mismo que 2 0 .
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Entonces, mirando nuestro primer número perfecto, 6, vemos 2 o , 2 1 y luego 3.
En nuestro segundo número perfecto, 28, vemos 2 0 , 2 1 , 2 2 y luego 7.
En nuestro tercer número perfecto, 496, vemos 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 y luego 31.
Este patrón es válido para cada número perfecto. Cada número perfecto comenzará con una serie de potencias de 2 seguidas de un número primo. Ahora, puede notar algo sobre este número primo. Si miras de cerca, verás que cuando duplicas tu última potencia de 2 y luego restas 1, ¡tu resultado es el número primo!
Tome nuestro segundo número perfecto, 28, por ejemplo. Vemos que nuestra última potencia de 2 es 4, y el número primo que sigue es 7. Usando el patrón que anotamos arriba, duplicar nuestra potencia de 2 (4 x 2) es igual a 8, menos 1, es igual a siete.
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¿No me crees todavía? Intentémoslo con nuestro número perfecto 496. Vemos que nuestra última potencia de 2 es 16 y el número primo que sigue es 31. Cuando duplicamos nuestra potencia de 2 (16 x 2) y luego restamos 1, obtenemos una solución de 31.
Luego podemos tomar este patrón y convertirlo en una fórmula para encontrar un número perfecto. Duplicaremos una potencia de 2 y luego restaremos 1. Estos números se llaman primos de Mersenne. Esta es solo una parte de nuestra fórmula para números perfectos. Esto nos da nuestro número primo, pero también necesitamos tener una parte de nuestra fórmula para dar cuenta de las potencias de 2.
Nuestro poder de 2 se puede escribir como:
2 (n-1)
Combinando estas dos partes, obtenemos nuestra fórmula completa:
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Número perfecto = 2 (n-1) * ((2 (n) ) – 1)
Podemos usar nuestros primeros cuatro números perfectos para demostrar que esta fórmula funciona.
- Comenzando con el primer número primo de 2, obtenemos nuestro primer número perfecto de 6.
- El segundo número primo de 3 nos da nuestro segundo número perfecto de 28.
- El tercer número primo de 5 nos da nuestro tercer número perfecto de 496.
- El cuarto número primo de 7 nos da nuestro cuarto número perfecto de 8.128.
¿Ve ahora por qué los matemáticos creen que podría haber un número infinito de números perfectos? Dado que los números perfectos se basan en números primos y hay un número infinito de números primos, ¿por qué no puede haber también un número infinito de números perfectos?
¿Qué es el quinto número perfecto?
Usando nuestra fórmula, podemos resolver nuestro quinto número perfecto. El número primo que sigue al 7 es 13. Entonces, podemos insertar 13 en nuestra fórmula para encontrar su número perfecto:
Número perfecto = 2 (13-1) * ((2 (13) ) – 1)
Número perfecto = 2 (12) * ((2 (13) ) – 1)
Número perfecto = 4.096 * (8.192 – 1)
Número perfecto = 4.096 * 8.191
Número perfecto = 33,550,336
Resumen de la lección
En esta lección, aprendió que un número perfecto es un número que es igual a la suma de sus divisores, excluyendo el número en sí. Descubrimos el patrón que se encuentra en los divisores y cómo se traduce en la fórmula para resolver números perfectos:
Número perfecto = 2 (n-1) * ((2 (n) ) – 1)
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