Practique con las secciones cónicas

Publicado el 22 septiembre, 2020

¿Qué son las secciones cónicas?

¿Qué tienen en común formas como círculos, parábolas, elipses e hipérbolas? Todos son creados por la intersección de un plano con un cono tridimensional y por eso se llaman secciones cónicas . Las secciones cónicas se han estudiado desde la antigüedad y aparecen en la naturaleza en muchos contextos, desde la sombra proyectada por una luz hasta la órbita de un planeta. Veamos cada una de las secciones cónicas y veamos cómo se ven y cómo representarlas matemáticamente.

Círculos

Un círculo es la forma que obtendría si cortara el cono en línea recta en ángulo recto con respecto a su eje. La definición matemática formal de un círculo es el conjunto de puntos que están todos a la misma distancia de otro punto fijo. El punto fijo es el centro del círculo y la distancia desde el centro a cualquier otro punto es el radio.

Si el centro del círculo está en el origen del sistema de coordenadas, entonces la ecuación que describe el círculo será:

x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2

donde r es el radio. Cuando se grafica, un círculo se ve así:

circulo

En este círculo, el radio es igual a la raíz cuadrada de 25, que es 5.

Elipses

Una sección cónica que se parece mucho a un círculo es la elipse. Una elipse parece un círculo que se ha aplanado en una dirección y estirado en la otra. Para obtener una elipse de un cono, cortaría completamente a través del cono, pero en un ángulo que no sea un ángulo recto.

En lugar de tener un radio, como un círculo, una elipse tiene dos ejes porque es más larga en una dirección que en la otra. El eje más largo se llama eje semi-mayor y el más corto es el eje semi-menor.

En la ecuación que describe una elipse, hay dos números importantes, designados una y b . a es la longitud del semi-eje mayor y b es la longitud del eje semi-menor más corto, por lo que a es siempre mayor que b .

( x ^ 2 / a ^ 2) + ( y ^ 2 / b ^ 2) = 1 (es la ecuación que describe el semi-eje mayor en la dirección x )

( x ^ 2 / b ^ 2) + ( y ^ 2 / a ^ 2) = 1 (es la ecuación que describe el semieje mayor en la dirección y )

En esta elipse, a = 3 y b = 2, y puede ver que estas son las longitudes de los ejes semi-mayor y semi-menor.

elipse - secciones cónicas

Las elipses ocurren en la naturaleza con bastante frecuencia. Por ejemplo, cuando cada planeta de nuestro sistema solar orbita alrededor del sol, sigue una trayectoria elíptica. Sí, ¡incluso la órbita de la Tierra es una elipse!

Parábolas

Se forma una parábola cortando el cono de modo que se extraiga una pieza de un lado, pero el cono no se corte completamente por la mitad. Esto crea lo que se conoce como una curva abierta porque no está cerrada como un círculo o una elipse, sino que se abre por un lado.

Matemáticamente, una parábola se define como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una línea dada, llamada directriz, y un punto, llamado foco.

Al igual que una elipse, hay dos formas posibles de la ecuación de una parábola. Si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y es simétrica con respecto al eje y , se puede describir mediante la siguiente ecuación:

x ^ 2 = 4 ay

Sin embargo, si es simétrico con respecto al eje x y se abre hacia la izquierda o hacia la derecha, la ecuación se verá así:

y ^ 2 = 4 hacha

En cualquier caso, el número representado por a determinará la ubicación de la directriz y el foco y, por lo tanto, la forma de la parábola. Aquí podemos ver una parábola graficada con a = 1, por lo que el foco está ubicado dentro de la parábola en (1,0), y la directriz está en el otro lado de la parábola en x = -1.

parábola de apertura lateral

Hipérbolas

Finalmente, la última sección cónica es la hipérbola. Se crea una hipérbola cortando rodajas de la parte superior e inferior de un cono doble. Como una parábola, una hipérbola también es una curva abierta, y una hipérbola se define mediante la siguiente ecuación:

( x ^ 2 / a ^ 2) – ( y ^ 2 / b ^ 2) = 1

Probablemente hayas notado que se ve muy similar a la ecuación de una elipse, ¿verdad? Para reconocer una hipérbola, busque el signo negativo entre los dos términos.

Cuando se grafica, una hipérbola se ve así:

hipérbola

Resumen de la lección

Las secciones cónicas se crean mediante la intersección de un plano con un cono tridimensional, e incluyen círculos, elipses, parábolas e hipérbolas.

  • Un círculo es la forma que obtendría si cortara el cono en línea recta en ángulo recto con respecto a su eje. La definición matemática formal de un círculo es el conjunto de puntos que están todos a la misma distancia de otro punto fijo.
  • Una elipse parece un círculo que se ha aplanado en una dirección y estirado en la otra. Para obtener una elipse de un cono, cortaría completamente a través del cono, pero en un ángulo que no sea un ángulo recto.
  • Una parábola es una curva abierta que se forma al cortar el cono de manera que se quita una pieza de un lado, pero el cono no se corta completamente por la mitad. Matemáticamente, una parábola se define como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una línea dada, llamada directriz, y un punto, llamado foco.
  • Una hipérbola es también una curva abierta que se crea cortando rodajas de la parte superior e inferior de un cono doble.

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