Punto de inflexión: definición y ejemplos

Concavidad

La concavidad de una función nos permite saber cuándo la pendiente de la función aumenta o disminuye. Por ejemplo, si estuviéramos conduciendo por la carretera, la pendiente de la función que representa nuestra distancia con respecto al tiempo sería nuestra velocidad. La concavidad de esta función nos permitiría saber cuándo la pendiente de nuestra función aumenta o disminuye, por lo que nos indica cuándo estamos acelerando o desacelerando. La concavidad de una función se refiere a cuando la gráfica de la función se curva hacia arriba o hacia abajo.

Cuando una función se curva hacia arriba, su pendiente aumenta y decimos que la función es cóncava hacia arriba .

Cóncava arriba

Cuando una función se curva hacia abajo, su pendiente es decreciente y decimos que la función es cóncava hacia abajo .

Cóncavo hacia abajo

La prueba de la segunda derivada

Podemos determinar si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo usando la prueba de la segunda derivada . La prueba de la segunda derivada dice que cuando la segunda derivada de una función es positiva, la función es cóncava hacia arriba, y cuando la segunda derivada de una función es negativa, la función es cóncava hacia abajo. Por ejemplo, considere la función f ( x ) = -2 x ^ 2. La primera derivada de esta función es f ‘( x ) = -4 x , y la segunda derivada de esta función es f ‘ ‘( x ) = -4. Vemos que la segunda derivada es negativa, por lo que la función es cóncava hacia abajo.

Consideremos la función f ( x ) = 4 x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 7 x que se muestra en el siguiente gráfico.

Concavidad

Vemos que esta función es cóncava hacia arriba en algunos lugares y cóncava hacia abajo en otros. La primera derivada de f es f ‘( x ) = 12 x ^ 2 + 6 x – 7, y la segunda derivada de la función es f ‘ ‘( x ) = 24 x + 6. Observe, la segunda derivada es positiva para x > -1/4 y negativo para x <-1/4. Por tanto, la función f es cóncava hacia arriba para x > -1/4 y cóncava hacia abajo para x <-1/4, lo que se puede observar en nuestra gráfica.

Punto de inflexión

El punto de inflexión de una función es donde la función cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa. Cuando pensamos en nuestro ejemplo de conducción, los puntos de inflexión de la función que representa nuestra distancia con respecto al tiempo indicarían cuándo empezamos a reducir la velocidad o cuándo empezamos a acelerar.

Punto de inflexión

Encontrar los puntos de inflexión de una función implica primero encontrar puntos que puedan ser un punto de inflexión y luego probar esos puntos para determinar cuáles son puntos de inflexión. Para encontrar los puntos de inflexión, seguimos estos pasos.

1.) Encuentra la segunda derivada de la función.

2.) Identifica cualquier punto que haga que la segunda derivada sea igual a cero estableciendo la segunda derivada igual a cero y resolviendo.

3.) Identifica los puntos que hacen que la segunda derivada no esté definida, como un denominador cero o un negativo debajo de una raíz cuadrada.

4.) Toma los puntos que encontraste en los pasos 2 y 3 y encuentra el signo de la segunda derivada en ambos lados del punto. Si la segunda derivada es positiva en un lado y negativa en el otro, esto indica que la función sería cóncava hacia arriba en un lado del punto y cóncava hacia abajo en el otro lado, mostrando que el punto es un punto de inflexión.

Veamos un ejemplo para solidificar nuestra comprensión de estos pasos.

Ejemplo

Vimos el punto de inflexión etiquetado en la gráfica de g ( x ) = x ^ 3 anteriormente. Analicemos esta función a través de nuestros pasos para verificar que este es un punto de inflexión.

• Paso 1: La primera derivada de g es g ‘( x ) = 3 x ^ 2. La segunda derivada de g es g » ( x ) = 6 x .
• Paso 2: Para encontrar puntos que hagan g ‘= 0, establecemos 6 x = 0 y resolvemos para x . Hacer esto da x = 0.
• Paso 3: La segunda derivada de g se define en todas partes, por lo que no hay puntos que hagan que la función sea indefinida.
• Paso 4: de los pasos 2 y 3, vemos que el único punto de inflexión posible está en x = 0, por lo que este es el único punto que necesitamos probar. Queremos ver si la segunda derivada es positiva o negativa en ambos lados de x = 0, así que busquemos el signo de la segunda derivada donde x = -1 y donde x = 1 (puntos a cada lado de x = 0). Cuando x = -1, tenemos 6 * -1 = -6, que es negativo, entonces g es cóncavo hacia abajo cuando x <0. Cuando x = 1, tenemos 6 * 1 = 6, que es positivo, entonces g es cóncava hacia arriba cuando x > 0. Esto nos dice que x= 0 es un punto de inflexión de g .

Resumen de la lección

La concavidad de una función nos dice dónde está aumentando o disminuyendo la pendiente de la función. Cuando la función es cóncava hacia arriba , la pendiente de la función aumenta y la segunda derivada de la función es positiva. Cuando una función es cóncava hacia abajo , la pendiente de la función es decreciente y la segunda derivada de la función es negativa. Los puntos en los que una función cambia de cóncavo hacia arriba a cóncavo hacia abajo o viceversa se denominan puntos de inflexión.. Para encontrar los puntos de inflexión de una función, seguimos los cuatro pasos descritos en esta lección: 1) encontrar la segunda derivada, 2) encontrar cualquier punto que haga que la segunda derivada sea cero, 3) encontrar cualquier punto que haga que la segunda derivada no esté definida, y por último, 4) pruebe los puntos encontrados comprobando el signo de la segunda derivada en ambos lados del punto. Si el signo de la segunda derivada es diferente en cada lado del punto, entonces el punto es un punto de inflexión. Los puntos de inflexión son valiosos porque nos dan otra información sobre una función. Ahora podemos identificar y encontrar estos puntos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador