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¿Qué son los puntos coplanares? – Definición y ejemplos

Publicado el 23 noviembre, 2020

Puntos coplanares: Definición

Los puntos coplanares son tres o más puntos que se encuentran en el mismo plano. Recuerde que un plano es una superficie plana que se extiende sin fin en todas las direcciones. Por lo general, se muestra en los libros de texto de matemáticas como una figura de 4 lados. Puede ver que los puntos A, B, C y D son todos puntos coplanares en un solo plano:

Puntos coplanares

El concepto de puntos coplanares puede parecer simple, pero a veces las preguntas al respecto pueden volverse confusas. Con un poco de conocimiento de geometría y algunos ejemplos del mundo real, puede dominar incluso las preguntas más desafiantes sobre los puntos coplanares.

Cualesquiera tres puntos en el espacio tridimensional determinan un plano. Esto significa que cualquier grupo de tres puntos determina un plano, incluso si no parece que todos los puntos estén ubicados en la misma superficie plana.

Para ver esto, cambiaremos ligeramente nuestra imagen original. En esta nueva imagen, el avión ahora tiene una línea que lo atraviesa. La parte sólida de la línea está por encima del plano y la parte punteada de la línea está por debajo del plano. Puedes hacer tu propio modelo en casa pasando una aguja de tejer o coser a través de una ficha. Podemos ver que los puntos A, B, C y D siguen siendo puntos coplanares. El punto E no es coplanar con los cuatro puntos originales. Pero si elijo cualquier grupo de tres de los puntos, incluso un grupo que contenga el punto E, esos tres puntos serán coplanares. La razón es la afirmación anterior: tres puntos cualesquiera en el espacio tridimensional determinan un plano.

Plano con línea a través

Por lo tanto, todos los siguientes grupos de puntos son coplanares:

  • A, B, E
  • B, C, E
  • C, D, E

Como puede ver, puede usar los tres puntos para crear un triángulo. Un triángulo es una figura plana. Por lo tanto, cualquier conjunto de tres puntos es coplanar. Incluso podría seleccionar un punto en la ciudad de Nueva York, uno en Londres y otro en la Ciudad de México, ¡y los puntos seguirían siendo coplanares!

Cuatro o más puntos

Una vez que llegamos a cuatro o más puntos, la situación cambia. Los grupos de cuatro o más puntos pueden ser coplanares o no. Miremos la imagen de nuevo. A, B, C y D siguen siendo coplanares; sin embargo, A, B, C y E no son coplanares. Esto puede resultar más obvio si dibujamos líneas que conectan los puntos. Las líneas negras están en el plano, pero las líneas rojas están por encima del plano. La figura de 4 lados no es un plano, sino que está doblada.

Puntos que no son Coplanarios

Echemos un vistazo a una situación de la vida real, donde la aguja de tejer se ha pasado a través de una hoja de papel. El hilo negro está en el papel, pero el hilo rojo está por encima del papel.

Modelo de puntos no coplanares

Veamos otro ejemplo de la vida real. La caja de papel tisú está cubierta de hojas. Se han colocado puntos en las puntas de cuatro hojas y se han etiquetado como W, X, Y y Z. En la primera imagen, podemos ver que los puntos X, Y y Z son coplanares. Forman un triángulo y puedes visualizarlo. Si cortara la caja de pañuelos y pasara por estos puntos, tendría un trozo de la caja de pañuelos que tendría una figura plana, un triángulo, como base.

Tejido de tres puntos coplanares

Compare esto con la segunda situación, en la que los puntos W, X, Y y Z están todos conectados. Si tuviera que cortar esta sección de la caja de pañuelos, probablemente tendría que cambiar el ángulo de sus tijeras o cuchillo exacto repetidamente, en lugar de poder pasar a través de un corte suave. Cuando termine de cortar, los cuatro puntos del borde cortado no formarían una sola superficie plana. Estos puntos no son coplanares.

Caja de pañuelos no coplanar

A veces, cuatro puntos son coplanares, como se muestra en la imagen de la caja de pañuelos. Los cuatro puntos que son las esquinas del frente de la caja son todos coplanares. Cuando se conectan, forman una sola superficie plana.

Caja de pañuelos con cuatro puntos coplanares

Importancia de los puntos coplanares

En los oficios de la construcción, a menudo es importante que los puntos sean coplanares. Un edificio pierde estabilidad si las cuatro esquinas de una pared o piso no son coplanares. Los trabajadores de la construcción usan herramientas, como un nivel, para asegurarse de que los puntos sean coplanares.

Cuando se utiliza un mapa, puede parecer que las ciudades y los pueblos son coplanares, porque el mapa se dibuja sobre una superficie plana. Sin embargo, la experiencia nos dice que este no es siempre el caso. Se han diseñado mapas especiales, llamados mapas topográficos, para proporcionar información sobre ubicaciones que son coplanares en el papel pero no coplanares en el mundo real.

Resumen de la lección

Los puntos coplanares son tres o más puntos que se encuentran todos en el mismo plano. Cualquier conjunto de tres puntos en el espacio es coplanario. Un conjunto de cuatro puntos puede ser coplanares o no coplanares. Para decidir si los puntos son coplanares o no, puede ser útil hacer un dibujo o usar un objeto de la vida real para resolver problemas que involucran puntos coplanares.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, tendrá la capacidad de:

  • Definir puntos coplanares
  • Explica por qué cualquier conjunto de tres puntos en el espacio es coplanares y cuándo un conjunto de cuatro puntos es coplanares.
  • Recuerde cómo determinar si los puntos son coplanares
  • Identificar la importancia de los puntos coplanares en el mundo real

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