Regla del punto medio: fórmula y ejemplo

La regla del punto medio: una analogía de la siembra de césped

Te diriges a la tienda a comprar semillas de césped. Para determinar la cantidad de semilla a comprar, necesitamos el área del césped. ¿Y si nuestro césped tiene una forma inusual? ¡Encontrar el área puede no ser obvio! Resulta que podemos obtener una buena estimación del área usando rectángulos y algo llamado regla del punto medio . Mediante el uso de un ejemplo, mostraremos cómo se hace esto.

Conseguir la idea

Digamos que nos gustaría encontrar el área bajo la siguiente curva. Para ser más precisos, digamos que queremos el área bajo la curva de x = 2 ax = 10. El área deseada es la región sombreada:

Para explicar la idea general, comenzaremos con una pequeña cantidad de rectángulos. Digamos que usamos cuatro rectángulos. Posicionamos los rectángulos para que no se superpongan sino que cubran el área deseada. La parte superior de la mitad de cada rectángulo solo toca la curva. Además, hemos decidido que el ancho de cada rectángulo sea el mismo. Así es como se ve todo eso:

Sabemos cómo encontrar el área de rectángulos . El área de un rectángulo es simplemente el largo por el ancho .

Miremos detenidamente el primero de estos rectángulos.

Los puntos finales del primer rectángulo están en x = 2 y x = 4. Por lo tanto, el punto en el medio está en x = 3. Usaremos una etiqueta de subíndice con x para representar el punto medio del rectángulo 1. El punto medio del primer el rectángulo está etiquetado x 1 y es igual a 3. La curva está definida por alguna función f ( x ). Por tanto, f ( x 1 ) es la función f ( x ) evaluada en x 1 . Tenga en cuenta que colocar el rectángulo con el punto medio en la curva es algo bueno. El área fallada a la izquierda se equilibra con el área extra ganada a la derecha. ¡Agradable!

Vemos que la longitud del rectángulo es f ( x 1 ) y el ancho es Δ x . Con nuestro césped, podríamos usar una cinta métrica y determinar estas distancias. O podríamos usar el gráfico. Vemos que la curva de f ( x ) cruza el punto medio en 1,5. Usaremos 1,5 como longitud para este primer rectángulo.

El área del primer rectángulo es el producto de f ( x 1 ) por Δ x . Es decir, el producto de 1,5 por 2 que nos da un área de 3.

Al sumar las áreas de cada uno de los cuatro rectángulos, podemos obtener una buena aproximación al área completa debajo de la curva. Intuitivamente, cuantos más rectángulos usemos, mejor será nuestra aproximación. Para cuatro rectángulos, el área total es 9.4. Pero 9.4 ¿qué? Cada unidad en el gráfico representa 10 pies sobre nuestro césped real. Una unidad por una unidad representa 10×10 = 100 pies cuadrados. Por lo tanto, nuestra estimación de 9,4 en el gráfico es en realidad 940 pies cuadrados sobre el césped. ¡Esa es una bolsa de una libra de semillas de pasto!

Obtener más matemática

Continuaremos con nuestro ejemplo con cuatro rectángulos y luego generalizaremos a cualquier número de rectángulos. Encontramos que el área aproximada A es la suma de las áreas de cada uno de los cuatro rectángulos. Esto podría escribirse como

donde x 1 , x 2 , x 3 y x 4 son los puntos medios de cada rectángulo. En nuestro ejemplo, estos puntos medios son 3, 5, 7 y 9. Las longitudes de rectángulo correspondientes son 1.5, 1, .8 y 1.4. Recuerde que si conocemos la función f ( x ), entonces estas longitudes son la función evaluada en cada punto medio. Hagamos uno de estos en detalle. La función real de esta curva es

Evaluado en el primer punto medio, dejamos x = 3. Esto da

Un cálculo similar conduce a las longitudes de los otros tres rectángulos.

Otra forma de expresar esta suma de cuatro áreas es escribir

El símbolo Σ, leído como ‘sigma’, significa tomar la suma. El i = 1 en la parte inferior de Σ nos dice que comencemos a sumar con el valor de i igual a 1. El 4 en la parte superior nos dice que dejemos de sumar para i igual a 4. Por lo tanto, tenemos cuatro términos en nuestra suma. Uno para cada uno de i = 1, 2, 3 y 4.

Las dos ecuaciones anteriores significan lo mismo. El segundo es más compacto.

Nuestra ecuación hasta este punto es para N = 4 rectángulos. Para un número arbitrario N, debemos pensar en generalizar tanto el ancho Δ x como el punto medio. Primero, el ancho Δ x se puede escribir como

donde a es el valor más a la izquierda de x , b es el valor más a la derecha de x y N es el número de rectángulos. En nuestro ejemplo,

Una expresión general para el punto medio del i ésimo rectángulo en términos de una y Δ x es

Por ejemplo, el punto medio del tercer rectángulo es x 3 . Eso significa que i = 3 en nuestra ecuación para el punto medio. Esto nos da

x 3 = 2 + (2 (3) – 1) 2/2 = 2 + (5) 2/2 = 7. Esto concuerda con nuestro gráfico.

Por tanto, la fórmula general para la regla del punto medio es

dónde

y

Configurar la regla del punto medio es sencillo. Calcular áreas de rectángulos es fácil. La parte difícil será comprar esa semilla de césped y mantener un césped saludable.

Resumen de la lección

La regla del punto medio es útil para determinar el área bajo una curva. Los rectángulos que no se superponen se utilizan para estimar el área. La estimación mejora a medida que aumenta el número de rectángulos.

Continúa con:

1. Biologia

   ¿Qué es la alicina? – Definición, fórmula química y propiedades

   El olor del ajo fresco ¿Te gusta cocinar en casa? Uno de los productos agrícolas...

2. Geometría

   Bisección de segmento de línea y teorema del punto medio: construcción geométrica

   Segmento de línea En el mundo real, la mayoría de las líneas que vemos son...

3. Biologia

   Amilosa: Estructura, fórmula y función

   ¿Qué es la amilosa? En este momento, probablemente tengas amilosa en el armario de tu...

4. Contabilidad

   Rotación total de activos: definición, fórmula y análisis

   Rotación de activos totales All Kind of Cupcakes abrió hace 2 años y se ha...

Rodrigo Ricardo Editor y fundador