Representar números complejos con vectores

Vectores y números complejos

Es posible que se sorprenda al descubrir que existe una relación entre números complejos y vectores. Después de todo, considere sus definiciones.

• Un número complejo es un número de la forma de un + bi , donde un y b son números reales, y i es el número imaginario √ (-1). Llamamos a la parte real del número complejo y llamamos b la parte imaginaria del número complejo.
• Hablando en abstracto, un vector es algo que tiene una dirección y una longitud (o magnitud). Para imaginar esto, considere la trayectoria de un avión desde el punto A hasta el punto B. La trayectoria tiene una dirección y tiene una longitud (distancia), por lo que se considera un vector. Una representación más visual de un vector es un segmento de línea dirigido, o un segmento de línea que tiene un punto final, llamado cabeza , y un rayo que apunta en alguna dirección desde ese punto final a otro punto, llamado cola . El segmento de línea dirigido tiene una longitud y apunta en alguna dirección, por lo que también tiene una dirección. Por tanto, es un vector.

Hmmm… estos aparentemente no tienen nada que ver entre sí. Sin embargo, resulta que en realidad podemos usar vectores para representar números complejos en el plano complejo. ¡Echemos un vistazo a cómo hacer esto!

Representar números complejos con vectores

En el plano complejo, llamamos al eje x el eje real y al eje y el eje imaginario. Al ver el plano complejo de esta manera, podemos graficar números complejos de la forma a + bi ubicando a en el eje real y luego moviéndonos hacia arriba o hacia abajo ab en el eje imaginario. En pocas palabras, trazamos el punto ( a , b ) en el plano complejo.

Plano complejo

¡Aquí es donde entran en juego los vectores! Verá, una vez que hemos trazado el punto ( a , b ), si dibujamos un segmento de línea dirigido desde el origen del plano complejo hasta el punto ( a , b ), entonces hemos creado un vector que representa el número complejo a + bi en el plano complejo.

a + bi como vector

En otras palabras, para representar un número complejo, a + bi , usando un vector, usamos los siguientes pasos:

1. Trace el punto ( a , b ) en el plano complejo.
2. Dibuja un segmento de línea dirigido desde el origen del plano hasta el punto ( a , b ). Este es el vector que representa a + bi .

¡Ah-ja! ¡Ahí está la conexión! ¡Eso es realmente genial! Consideremos algunos ejemplos del uso de vectores para representar números complejos.

Ejemplos

Considere los siguientes números complejos:

• 3-4 i
• 2 + 8 yo
• -5 + yo
• -7 – 7 i

Usemos nuestros pasos para representar cada uno de estos números complejos con un vector. Comenzando con el número complejo 3 – 4 i , tenemos que a = 3 y b = -4. Por lo tanto, el primer paso es trazar el punto (3, -4) en el plano complejo. Una vez hecho esto, dibujamos un vector con su cabeza en el origen y su cola en el punto (3, -4). Este es nuestro vector que representa el número complejo 3 – 4 i .

Ahora, vamos a considerar los otros tres números complejos identificando en primer lugar una y B en cada uno de los números y encontrar el punto de que tenemos que trazar para el primer paso para cada uno de ellos.

• En 2 + 8 i , a = 2 y b = 8, entonces graficamos el punto (2, 8).
• En -5 + i , a = -5 y b = 1, entonces graficamos el punto (-5, 1).
• En -7 – 7 i , a = -7 yb = -7, entonces trazamos el punto (-7, -7).

Todo lo que tenemos que hacer ahora es dibujar en los segmentos de línea dirigidos desde el origen hasta cada uno de estos puntos, y tenemos nuestros vectores que representan los números complejos.

Bueno, ¡eso fue bastante fácil!

Resumen de la lección

Un número complejo es un número de la forma de un + bi , donde un y b son números reales, y i es el número imaginario √ (-1). Llamamos a la parte real del número complejo y llamamos b la parte imaginaria del número complejo.

Un vector es algo que tiene una dirección y una longitud. Hablando visualmente, es un segmento de línea dirigido, o un segmento de línea con un punto final, llamado cabeza , y un rayo que apunta en alguna dirección desde ese punto final a otro punto, llamado cola .

Los números complejos y los vectores están relacionados porque podemos representar números complejos usando vectores. Para ello, seguimos estos pasos:

1. Trace el punto ( a , b ) en el plano complejo.
2. Dibuja un segmento de línea dirigido desde el origen del plano hasta el punto ( a , b ). Este es el vector que representa a + bi .

Es bueno ver que dos temas aparentemente no relacionados en matemáticas en realidad tienen una relación muy cercana. Esa es la belleza de las matemáticas: parece poder relacionar tantos conceptos e ideas juntos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador