Resolver desigualdades radicales

Hay algunas definiciones y propiedades matemáticas de los radicales que debemos revisar. Estas propiedades nos ayudarán a comprender cómo resolver desigualdades radicales.

Notas radicales

Definición de desigualdad radical

La definición de una desigualdad radical es una desigualdad que contiene una expresión variable dentro de ella. Esto significa que la expresión variable se encuentra debajo del radical y se llama radicando .

Por ejemplo:

Propiedad de radicandos negativos

Echemos un vistazo a esta propiedad:

El radicando no puede tener un valor final calculado que sea negativo CUANDO el índice del radical es un número par.

Tener un negativo debajo del radical cuando el índice es un número par, como 2, 4, 6, etc. significa que no hay solución. Esto debe comprobarse para cada problema radical de desigualdad. Veremos algunos problemas al utilizar estos controles adicionales.

Eliminar la propiedad radical

No podemos resolver matemáticamente el problema con el símbolo radical en él. Debe ser eliminado. Así que no olvides que tenemos esta propiedad que nos dice cómo hacer eso:

Esto significa que tomamos el valor del índice y usamos este mismo valor como exponente. Al hacerlo, cancela el símbolo radical y deja la expresión de la variable radicando sola.

Echemos un vistazo a un ejemplo de esto:

Si el índice no se muestra en el radical, significa que el índice es igual a dos.

Ahora que hemos examinado nuestras definiciones y propiedades radicales, veremos tres problemas de muestra.

Ejemplo 1

Echemos un vistazo a nuestro primer problema:

Simplificando:

Cuadrando cada lado, obtenemos,

Dejándonos con

Para comprobarlo, elija un valor de x mayor que 40. Si elegimos un número como 68 y reemplazamos este valor seleccionado por x :

que es mayor que 8. Entonces x > 40 es la respuesta correcta de desigualdad.

Ejemplo 2

Dado nuestro segundo ejemplo:

Para deshacernos del radical, cuadramos cada lado de la desigualdad:

Luego simplificamos la desigualdad y obtenemos:

Recuerda que nuestro radicando NO puede ser negativo, u otra forma de decirlo es que el radicando debe ser positivo:

Para comprobar esto … obtenemos:

Veamos nuestro ejemplo con valores x de 3 y 5:

Aquí hemos demostrado que esta es una verdadera desigualdad, 0 es menor que 2. Ahora probemos con el valor x 5:

Sí, tenemos una verdadera desigualdad con un valor de x de 3 que es igual a 2.

Los valores de x que son 3 y 5 Y todos los valores de x entre 3 y 5 harán que la desigualdad sea verdadera.

Aquí, 3 es nuestro valor de intervalo inferior y 5 es nuestro valor de intervalo superior.

Para escribir todos los valores que resolverían esta desigualdad de forma concisa, la escribiríamos como una desigualdad compuesta.

Una desigualdad compuesta se escribe utilizando los valores de intervalo inferior y superior con los mismos símbolos de desigualdad entre esos valores.

Entonces, escribiríamos:

como nuestra respuesta final.

Ejemplo 3

En nuestro último ejemplo, tenemos una expresión radical a cada lado de la desigualdad.

Dado:

Cuadrando cada lado:

Dejándonos con:

Por tanto, nuestra desigualdad de intervalo superior es:

Para determinar el intervalo completo, miramos las dos expresiones debajo de los radicales por separado y establecemos cada desigualdad en cero. Entonces, las dos condiciones de radicandos separados están a continuación:

La primera condición de radicando es:

dónde

La segunda condición de radicando es:

dónde

Entre las dos expresiones de radical y desigualdad,

es la desigualdad que tiene los valores de x para la que se satisfacen AMBAS expresiones radicales.

También es la desigualdad de intervalo más baja.

Entonces nuestra respuesta final sería:

En este punto, usted elige y prueba valores dentro de ese intervalo para verificar los valores de desigualdad verdaderos. Entonces, si elegimos y probamos un valor x de 2, obtendríamos una verdadera desigualdad.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos, a través de la exploración de definiciones y propiedades radicales, cómo resolver desigualdades radicales . Esas propiedades incluían definiciones de un índice y un radicando , la importancia de los radicandos positivos, la eliminación de radicales de las desigualdades y cómo escribir una desigualdad compuesta para resolver los problemas. Estas propiedades se utilizaron en los tres problemas de muestra. Verificar nuestras respuestas es muy importante para asegurar soluciones correctas a la desigualdad.

Ahora estamos radicalmente preparados para resolver desigualdades radicales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador